线性代数示例

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 8 & 1 & 10 - 6 & - 2 & - 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 \\ 8 & 1 & 10 \\ - 6 & - 2 & - 5 \end{array}]$

解题步骤 1

要确定矩阵中的列是否线性相关，请确定方程

A x = 0

$A x = 0$ 是否存在任何非平凡解。

解题步骤 2

写成

A x = 0

$A x = 0$ 的增广矩阵。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 8 & 1 & 10 & 0 - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 8 & 1 & 10 & 0 \\ - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3

求行简化阶梯形矩阵。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 10 - 8 \cdot 10 & 0 - 8 \cdot 0 - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 10 - 8 \cdot 10 & 0 - 8 \cdot 0 \\ - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.1.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 0 & - 15 & - 70 & 0 - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & - 15 & - 70 & 0 \\ - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 10 & 0 0 & - 15 & - 70 & 0 - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & - 15 & - 70 & 0 \\ - 6 & - 2 & - 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2

执行行操作

$R_{3} = R_{3} + 6 R_{1}$ 使

$3, 1$ 处的项为

$0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

执行行操作

$R_{3} = R_{3} + 6 R_{1}$ 使

$3, 1$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & - 15 & - 70 & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & - 2 + 6 \cdot 2 & - 5 + 6 \cdot 10 & 0 + 6 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

化简

$R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & - 15 & - 70 & 0 \\ 0 & 10 & 55 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3

将

$R_{2}$ 的每个元素乘以

$- \frac{1}{15}$ ，使

$2, 2$ 的项为

$1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将

$R_{2}$ 的每个元素乘以

$- \frac{1}{15}$ ，使

$2, 2$ 的项为

$1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot - 70 & - \frac{1}{15} \cdot 0 \\ 0 & 10 & 55 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ 0 & 10 & 55 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.4

执行行操作

$R_{3} = R_{3} - 10 R_{2}$ 使

$3, 2$ 处的项为

$0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

执行行操作

$R_{3} = R_{3} - 10 R_{2}$ 使

$3, 2$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ 0 - 10 \cdot 0 & 10 - 10 \cdot 1 & 55 - 10 (\frac{14}{3}) & 0 - 10 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.4.2

化简

$R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{25}{3} & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.5

将

$R_{3}$ 的每个元素乘以

$\frac{3}{25}$ ，使

$3, 3$ 的项为

$1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

将

$R_{3}$ 的每个元素乘以

$\frac{3}{25}$ ，使

$3, 3$ 的项为

$1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ \frac{3}{25} \cdot 0 & \frac{3}{25} \cdot 0 & \frac{3}{25} \cdot \frac{25}{3} & \frac{3}{25} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.5.2

化简

$R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.6

执行行操作

$R_{2} = R_{2} - \frac{14}{3} R_{3}$ 使

$2, 3$ 处的项为

$0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

执行行操作

$R_{2} = R_{2} - \frac{14}{3} R_{3}$ 使

$2, 3$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 - \frac{14}{3} \cdot 0 & 1 - \frac{14}{3} \cdot 0 & \frac{14}{3} - \frac{14}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{14}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.6.2

化简

$R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.7

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - 10 R_{3}$ 使

$1, 3$ 处的项为

$0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - 10 R_{3}$ 使

$1, 3$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 10 \cdot 0 & 2 - 10 \cdot 0 & 10 - 10 \cdot 1 & 0 - 10 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.7.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.8

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 使

$1, 2$ 处的项为

$0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.1

执行行操作

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 使

$1, 2$ 处的项为

$0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.8.2

化简

$R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4

把矩阵写成线性方程组。

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

解题步骤 5

由于

$A x = 0$ 的唯一解是平凡解，向量是线性无关的。

线性无关

输入您的问题

线性代数 示例

线性代数示例