线性代数示例

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 8 & 1 & 10 \\ 6 & 2 & 5 \end{array}]$

解题步骤 1

要确定矩阵中的列是否线性相关，请确定方程 $A x = 0$ 是否存在任何非平凡解。

解题步骤 2

写成 $A x = 0$ 的增广矩阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 10 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.1.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 10 - 8 \cdot 1 & 0 - 8 \cdot 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.1.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.2.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & 2 - 6 \cdot 2 & 5 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{15}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{15}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot 2 & - \frac{1}{15} \cdot 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.4

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.4.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & - 1 + 10 (- \frac{2}{15}) & 0 + 10 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.4.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7}{3} & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.5

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $- \frac{3}{7}$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $- \frac{3}{7}$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} (- \frac{7}{3}) & - \frac{3}{7} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.6

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.6.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{15} \cdot 0 & - \frac{2}{15} + \frac{2}{15} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.6.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.7

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.7.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 2 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.7.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.8

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.8.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.8.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4

把矩阵写成线性方程组。

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

解题步骤 5

由于 $A x = 0$ 的唯一解是平凡解，向量是线性无关的。

线性无关

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