线性代数示例

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1

要确定矩阵中的列是否线性相关，请确定方程 $A x = 0$ 是否存在任何非平凡解。

解题步骤 2

写成 $A x = 0$ 的增广矩阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.1.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.1.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.2.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & - 2 - 6 \cdot 2 & 0 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{7}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{7}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 3 & - \frac{1}{7} \cdot 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.4

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.4.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 + 14 \cdot 0 & - 14 + 14 \cdot 1 & - 6 + 14 (\frac{3}{7}) & 0 + 14 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.4.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.5

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.5.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{3}{7}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.5.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4

删除全为零的行。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \end{array}]$

解题步骤 5

把矩阵写成线性方程组。

$x + \frac{1}{7} z = 0$

$y + \frac{3}{7} z = 0$

解题步骤 6

由于 $A x = 0$ 存在非平凡解，向量是线性相关的。

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