线性代数示例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 47 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 7 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 6 - 5 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 6 \\ - 5 \\ 8 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 159 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 9 \end{array}]$

解题步骤 1

要确定矩阵中的列是否线性相关，请确定方程

A x = 0

$A x = 0$ 是否存在任何非平凡解。

解题步骤 2

写成

A x = 0

$A x = 0$ 的增广矩阵。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 6 & 1 & 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 6 & 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

- 1

$- 1$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 3.1.1

将

R_{1}

$R_{1}$ 的每个元素乘以

- 1

$- 1$ ，使

1, 1

$1, 1$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - - 1 & - 1 \cdot 6 & - 1 \cdot 1 & - 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 6 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.1.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 4 & - 5 & 5 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 & - 5 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.2.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ 使

2, 1

$2, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 4 - 4 \cdot 1 & - 5 - 4 \cdot - 6 & 5 - 4 \cdot - 1 & 0 - 4 \cdot 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 5 - 4 \cdot - 6 & 5 - 4 \cdot - 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 7 & 8 & 9 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.3.1

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ 使

3, 1

$3, 1$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 7 - 7 \cdot 1 & 8 - 7 \cdot - 6 & 9 - 7 \cdot - 1 & 0 - 7 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 8 - 7 \cdot - 6 & 9 - 7 \cdot - 1 & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 19 & 9 & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 19 & 9 & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.4

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{19}

$\frac{1}{19}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 3.4.1

将

R_{2}

$R_{2}$ 的每个元素乘以

\frac{1}{19}

$\frac{1}{19}$ ，使

2, 2

$2, 2$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{9}{19} & \frac{0}{19} 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{9}{19} & \frac{0}{19} \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.4.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 50 & 16 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 50 & 16 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.5

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ 使

3, 2

$3, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.5.1

执行行操作

R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 50 R_{2}$ 使

3, 2

$3, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 - 50 \cdot 0 & 50 - 50 \cdot 1 & 16 - 50 (\frac{9}{19}) & 0 - 50 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 - 50 \cdot 0 & 50 - 50 \cdot 1 & 16 - 50 (\frac{9}{19}) & 0 - 50 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.5.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{146}{19} & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.6

将

R_{3}

$R_{3}$ 的每个元素乘以

- \frac{19}{146}

$- \frac{19}{146}$ ，使

3, 3

$3, 3$ 的项为

1

$1$ 。

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解题步骤 3.6.1

将

R_{3}

$R_{3}$ 的每个元素乘以

- \frac{19}{146}

$- \frac{19}{146}$ ，使

3, 3

$3, 3$ 的项为

1

$1$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} (- \frac{146}{19}) & - \frac{19}{146} \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} \cdot 0 & - \frac{19}{146} (- \frac{146}{19}) & - \frac{19}{146} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.6.2

化简

R_{3}

$R_{3}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{9}{19} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.7

执行行操作

R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}

$R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ 使

2, 3

$2, 3$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.7.1

执行行操作

R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}

$R_{2} = R_{2} - \frac{9}{19} R_{3}$ 使

2, 3

$2, 3$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 & 1 - \frac{9}{19} \cdot 0 & \frac{9}{19} - \frac{9}{19} \cdot 1 & 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 & 1 - \frac{9}{19} \cdot 0 & \frac{9}{19} - \frac{9}{19} \cdot 1 & 0 - \frac{9}{19} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.7.2

化简

R_{2}

$R_{2}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & - 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.8

执行行操作

R_{1} = R_{1} + R_{3}

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ 使

1, 3

$1, 3$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.8.1

执行行操作

R_{1} = R_{1} + R_{3}

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ 使

1, 3

$1, 3$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 0 & - 6 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 6 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.8.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 6 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.9

执行行操作

R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

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解题步骤 3.9.1

执行行操作

R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 6 R_{2}$ 使

1, 2

$1, 2$ 处的项为

0

$0$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & 0 + 6 \cdot 0 & 0 + 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.9.2

化简

R_{1}

$R_{1}$ 。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4

把矩阵写成线性方程组。

x = 0

$x = 0$

y = 0

$y = 0$

z = 0

$z = 0$

解题步骤 5

由于

A x = 0

$A x = 0$ 的唯一解是平凡解，向量是线性无关的。

线性无关

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线性代数 示例

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