线性代数示例

$A = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1

求特征值。

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解题步骤 1.1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

解题步骤 1.2

大小为 $3$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $3 \times 3$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - λ I_{3})$

解题步骤 1.3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{3}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.6

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.6.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.6.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.7

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.7.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.7.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.8

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.8.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.8.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 1.4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3

化简每一个元素。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.3

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 & 0 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.7

从 $0$ 中减去 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 & - λ \end{array}]$

解题步骤 1.5

求行列式。

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解题步骤 1.5.1

选择包含最多 $0$ 元素的行或列。如果没有 $0$ 元素，选择任何一行或一列。将第 $3$ 列中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 1.5.1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的 $-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 1.5.1.3

$a_{13}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.4

将元素 $a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$0 | \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.5

$a_{23}$ 的子式是已删除了行 $2$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.6

将元素 $a_{23}$ 乘以其代数余子式。

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.7

$a_{33}$ 的子式是已删除了行 $3$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.8

将元素 $a_{33}$ 乘以其代数余子式。

$- λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.1.9

最后把这些项加起来。

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + 0 - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

解题步骤 1.5.4

计算 $| \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = 0 + 0 - λ ((3 - λ) (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

解题步骤 1.5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(3 - λ) (5 - λ)$ 。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

解题步骤 1.5.4.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

解题步骤 1.5.4.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 7 \cdot 5)$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 7 \cdot 5)$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 7 \cdot 5)$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 7 \cdot 5)$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ + λ^{2} - 7 \cdot 5)$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.2

从 $- 3 λ$ 中减去 $5 λ$ 。

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 8 λ + λ^{2} - 7 \cdot 5)$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

将 $- 7$ 乘以 $5$ 。

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 8 λ + λ^{2} - 35)$

解题步骤 1.5.4.2.2

从 $15$ 中减去 $35$ 。

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- 8 λ + λ^{2} - 20)$

解题步骤 1.5.4.2.3

将 $- 8 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = 0 + 0 - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$

解题步骤 1.5.5

化简行列式。

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解题步骤 1.5.5.1

合并 $0 + 0 - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$ 中相反的项。

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解题步骤 1.5.5.1.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$

解题步骤 1.5.5.1.2

从 $0$ 中减去 $λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$ 。

$p (λ) = - λ (λ^{2} - 8 λ - 20)$

解题步骤 1.5.5.2

运用分配律。

$p (λ) = - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

解题步骤 1.5.5.3

化简。

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解题步骤 1.5.5.3.1

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.5.3.1.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

解题步骤 1.5.5.3.1.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.5.3.1.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

解题步骤 1.5.5.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

解题步骤 1.5.5.3.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20$

解题步骤 1.5.5.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot - 20$

解题步骤 1.5.5.3.3

将 $- 20$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ + 20 λ$

解题步骤 1.5.5.4

化简每一项。

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解题步骤 1.5.5.4.1

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.5.4.1.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) + 20 λ$

解题步骤 1.5.5.4.1.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} + 20 λ$

解题步骤 1.5.5.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ$

解题步骤 1.6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$- λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ = 0$

解题步骤 1.7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.7.1.1

从 $- λ^{3} + 8 λ^{2} + 20 λ$ 中分解出因数 $- λ$ 。

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解题步骤 1.7.1.1.1

从 $- λ^{3}$ 中分解出因数 $- λ$ 。

$- λ \cdot λ^{2} + 8 λ^{2} + 20 λ = 0$

解题步骤 1.7.1.1.2

从 $8 λ^{2}$ 中分解出因数 $- λ$ 。

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) + 20 λ = 0$

解题步骤 1.7.1.1.3

从 $20 λ$ 中分解出因数 $- λ$ 。

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 20 = 0$

解题步骤 1.7.1.1.4

从 $- λ (λ^{2}) - λ (- 8 λ)$ 中分解出因数 $- λ$ 。

$- λ (λ^{2} - 8 λ) - λ \cdot - 20 = 0$

解题步骤 1.7.1.1.5

从 $- λ (λ^{2} - 8 λ) - λ (- 20)$ 中分解出因数 $- λ$ 。

$- λ (λ^{2} - 8 λ - 20) = 0$

解题步骤 1.7.1.2

因数。

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解题步骤 1.7.1.2.1

使用 AC 法来对 $λ^{2} - 8 λ - 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.7.1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 20$ ，和为 $- 8$ 。

$- 10, 2$

解题步骤 1.7.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- λ ((λ - 10) (λ + 2)) = 0$

解题步骤 1.7.1.2.2

去掉多余的括号。

$- λ (λ - 10) (λ + 2) = 0$

解题步骤 1.7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$λ = 0$

$λ - 10 = 0$

$λ + 2 = 0$

解题步骤 1.7.3

将 $λ$ 设为等于 $0$ 。

$λ = 0$

解题步骤 1.7.4

将 $λ - 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.4.1

将 $λ - 10$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 10 = 0$

解题步骤 1.7.4.2

在等式两边都加上 $10$ 。

$λ = 10$

解题步骤 1.7.5

将 $λ + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.5.1

将 $λ + 2$ 设为等于 $0$ 。

$λ + 2 = 0$

解题步骤 1.7.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$λ = - 2$

解题步骤 1.7.6

最终解为使 $- λ (λ - 10) (λ + 2) = 0$ 成立的所有值。

$λ = 0, 10, - 2$

解题步骤 2

特征向量等于矩阵的零空间减去特征值再乘以单位矩阵，在其中， $N$ 是零空间， $I$ 是单位矩阵。

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

解题步骤 3

用特征值 $λ = 0$ 求特征向量。

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解题步骤 3.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $0$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.3

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.4

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.6

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.7

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.8

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.9

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

零矩阵加上任何矩阵都等于它自身。

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解题步骤 3.2.2.1

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 3 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2

化简每一个元素。

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解题步骤 3.2.2.2.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2.4

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2.5

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2.8

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 + 0 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3

求当 $λ = 0$ 时的零空间。

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解题步骤 3.3.1

写成 $A x = 0$ 的增广矩阵。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{3}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{3}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{5}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 7 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 5 - 7 (\frac{5}{3}) & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.3.2.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{5}{3} & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.4

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{3}{20}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 3.3.2.4.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- \frac{3}{20}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} (- \frac{20}{3}) & - \frac{3}{20} \cdot 0 & - \frac{3}{20} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.4.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.5

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.3.2.5.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.6

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 3.3.2.6.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{5}{3} R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{5}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.6.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

解题步骤 3.3.4

通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

解题步骤 3.3.5

把解写成向量的线性组合。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.6

写成解集。

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

解题步骤 3.3.7

解为通过方程组自由变量创建的向量集合。

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 4

用特征值 $λ = 10$ 求特征向量。

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解题步骤 4.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - 10 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $- 10$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.3

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.4

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.5

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.6

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.7

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.8

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.9

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 3 - 10 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3

化简每一个元素。

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解题步骤 4.2.3.1

从 $3$ 中减去 $10$ 。

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.4

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.5

从 $5$ 中减去 $10$ 。

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.8

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 - 10 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.9

从 $0$ 中减去 $10$ 。

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 \end{array}]$

解题步骤 4.3

求当 $λ = 10$ 时的零空间。

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解题步骤 4.3.1

写成 $A x = 0$ 的增广矩阵。

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{7}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{7}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot 5 & - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot 0 \\ 7 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & - 5 - 7 (- \frac{5}{7}) & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 4.3.2.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + \frac{5}{7} & - 10 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12}{7} & - 10 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.4

交换 $R_{3}$ 和 $R_{2}$ ，以在 $2, 2$ 中放入一个非零项。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12}{7} & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.5

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{7}{12}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 4.3.2.5.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{7}{12}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ \frac{7}{12} \cdot 0 & \frac{7}{12} \cdot \frac{12}{7} & \frac{7}{12} \cdot - 10 & \frac{7}{12} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.5.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.6

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{7} R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 4.3.2.6.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{7} R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{7} \cdot 0 & - \frac{5}{7} + \frac{5}{7} \cdot 1 & 0 + \frac{5}{7} (- \frac{35}{6}) & 0 + \frac{5}{7} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.6.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{25}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x - \frac{25}{6} z = 0$

$y - \frac{35}{6} z = 0$

$0 = 0$

解题步骤 4.3.4

通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{25 z}{6} \\ \frac{35 z}{6} \\ z \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

把解写成向量的线性组合。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

写成解集。

${z [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

解题步骤 4.3.7

解为通过方程组自由变量创建的向量集合。

${[\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 5

用特征值 $λ = - 2$ 求特征向量。

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解题步骤 5.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $2$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 5.2.1.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.6

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.7

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.8

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 5.2.1.2.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

解题步骤 5.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 3 + 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

解题步骤 5.2.3

化简每一个元素。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.4

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.5

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.8

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 & 0 + 2 \end{array}]$

解题步骤 5.2.3.9

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 5.3

求当 $λ = - 2$ 时的零空间。

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解题步骤 5.3.1

写成 $A x = 0$ 的增广矩阵。

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{5}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{5}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{5}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} \\ 7 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 7 & 7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2.2

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 5.3.2.2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 7 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 7 - 7 \cdot 1 & 0 - 7 \cdot 0 & 0 - 7 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 5.3.2.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 2 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2.4

交换 $R_{3}$ 和 $R_{2}$ ，以在 $2, 3$ 中放入一个非零项。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2.5

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{2}$ ，使 $2, 3$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 5.3.2.5.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{2}$ ，使 $2, 3$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.2.5.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x + y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

解题步骤 5.3.4

通过对每一行中的自由变量进行求解，书写一个解向量。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.5

把解写成向量的线性组合。

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 5.3.6

写成解集。

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

解题步骤 5.3.7

解为通过方程组自由变量创建的向量集合。

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

解题步骤 6

$A$ 的特征空间为每一特征值的向量空间列表。

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

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