线性代数示例

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}]$

解题步骤 1

求特征值。

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解题步骤 1.1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

解题步骤 1.2

大小为 $2$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $2 \times 2$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - λ I_{2})$

解题步骤 1.3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{2}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 1.4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3

Simplify each element.

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解题步骤 1.4.3.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 2 \\ - 6 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2

将 $- 6$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 2 \\ - 6 & 6 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.5

Find the determinant.

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解题步骤 1.5.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (- 1 - λ) (6 - λ) - (- 6 \cdot 2)$

解题步骤 1.5.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(- 1 - λ) (6 - λ)$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = - 1 (6 - λ) - λ (6 - λ) - (- 6 \cdot 2)$

解题步骤 1.5.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = - 1 \cdot 6 - 1 (- λ) - λ (6 - λ) - (- 6 \cdot 2)$

解题步骤 1.5.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = - 1 \cdot 6 - 1 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

解题步骤 1.5.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.1.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$p (λ) = - 6 - 1 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.2

乘以 $- 1 (- λ)$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - 6 + 1 λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.2.2

将 $λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - 6 + λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 6 \cdot 2)$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 6 \cdot 2)$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 6 \cdot 2)$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ + 1 λ^{2} - (- 6 \cdot 2)$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ + λ^{2} - (- 6 \cdot 2)$

解题步骤 1.5.2.1.2.2

从 $λ$ 中减去 $6 λ$ 。

$p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} - (- 6 \cdot 2)$

解题步骤 1.5.2.1.3

乘以 $- (- 6 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.3.1

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} - - 12$

解题步骤 1.5.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} + 12$

解题步骤 1.5.2.2

将 $- 6$ 和 $12$ 相加。

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} + 6$

解题步骤 1.5.2.3

将 $- 5 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6$

解题步骤 1.6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$λ^{2} - 5 λ + 6 = 0$

解题步骤 1.7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.1

使用 AC 法来对 $λ^{2} - 5 λ + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.7.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $- 5$ 。

$- 3, - 2$

解题步骤 1.7.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(λ - 3) (λ - 2) = 0$

解题步骤 1.7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$λ - 3 = 0$

$λ - 2 = 0$

解题步骤 1.7.3

将 $λ - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.3.1

将 $λ - 3$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 3 = 0$

解题步骤 1.7.3.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$λ = 3$

解题步骤 1.7.4

将 $λ - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.4.1

将 $λ - 2$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 2 = 0$

解题步骤 1.7.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$λ = 2$

解题步骤 1.7.5

最终解为使 $(λ - 3) (λ - 2) = 0$ 成立的所有值。

$λ = 3, 2$

解题步骤 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

解题步骤 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

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解题步骤 3.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $- 3$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.3

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} - 1 - 3 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 6 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3

Simplify each element.

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解题步骤 3.2.3.1

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 6 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 6 + 0 & 6 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.3

将 $- 6$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 6 & 6 - 3 \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.4

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 6 & 3 \end{array}]$

解题步骤 3.3

Find the null space when $λ = 3$ .

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解题步骤 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 & 0 \\ - 6 & 3 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 2 & - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ - 6 & 3 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 6 & 3 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 3 + 6 (- \frac{1}{2}) & 0 + 6 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{2} y = 0$

$0 = 0$

解题步骤 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} \\ y \end{array}]$

解题步骤 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

解题步骤 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

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解题步骤 4.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $- 2$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.3

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} - 1 - 2 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 6 - 2 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.2.3.1

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 6 - 2 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 6 + 0 & 6 - 2 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.3

将 $- 6$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 6 & 6 - 2 \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.4

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 6 & 4 \end{array}]$

解题步骤 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

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解题步骤 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 0 \\ - 6 & 4 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ - 6 & 4 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 \\ - 6 & 4 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 4 + 6 (- \frac{2}{3}) & 0 + 6 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{2}{3} y = 0$

$0 = 0$

解题步骤 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

解题步骤 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

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