线性代数示例

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1

求特征值。

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解题步骤 1.1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

解题步骤 1.2

大小为 $2$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $2 \times 2$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

解题步骤 1.3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{2}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 1.4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3

Simplify each element.

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解题步骤 1.4.3.1

从 $0$ 中减去 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 0 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.4

从 $0$ 中减去 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & - λ \end{array}]$

解题步骤 1.5

Find the determinant.

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解题步骤 1.5.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.2

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.2.2.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.2.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.4

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.5.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 1$

解题步骤 1.6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$λ^{2} - 1 = 0$

解题步骤 1.7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$λ^{2} = 1$

解题步骤 1.7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 1.7.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$λ = \pm 1$

解题步骤 1.7.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.7.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$λ = 1$

解题步骤 1.7.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$λ = - 1$

解题步骤 1.7.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$λ = 1, - 1$

解题步骤 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

解题步骤 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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解题步骤 3.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

减去相应的元素。

$[\begin{array}{c} 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

Simplify each element.

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解题步骤 3.2.2.1

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.2

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.3

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 0 - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.2.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

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解题步骤 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

解题步骤 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

解题步骤 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

解题步骤 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

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解题步骤 4.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

Simplify each element.

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 0 + 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.2.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

解题步骤 4.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

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解题步骤 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 4.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

解题步骤 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

解题步骤 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

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