线性代数示例

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程

p (λ)

$p (λ)$ 。

p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

解题步骤 2

大小为

3

$3$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的

3 \times 3

$3 \times 3$ 方阵。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入

p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ 。

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解题步骤 3.1

代入

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}]$ 替换

A

$A$ 。

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ I_{3} ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

解题步骤 3.2

代入

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换

I_{3}

$I_{3}$ 。

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将

- λ

$- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将

0

$0$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将

0

$0$ 乘以

λ

$λ$ 。

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

解题步骤 4.1.2.3

乘以

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将

0

$0$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将

0

$0$ 乘以

λ

$λ$ 。

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

解题步骤 4.1.2.4

乘以

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将

0

$0$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4.2

将

0

$0$ 乘以

λ

$λ$ 。

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

解题步骤 4.1.2.5

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6

乘以

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将

0

$0$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6.2

将

0

$0$ 乘以

λ

$λ$ 。

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7

乘以

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.7.1

将

0

$0$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7.2

将

0

$0$ 乘以

λ

$λ$ 。

p (λ) = 行列式 ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & 2 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.8.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.9

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

化简每一个元素。

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解题步骤 4.3.1

将

$2$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.4

从

$0$ 中减去

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 \\ 0 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 \\ 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.7

将

$2$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 1 \\ 1 & - λ & 0 \\ 0 & 2 & 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

求行列式。

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解题步骤 5.1

选择包含最多

$0$ 元素的行或列。如果没有

$0$ 元素，选择任何一行或一列。将第

$1$ 列中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 5.1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的

$-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 5.1.3

$a_{11}$ 的子式是已删除了行

$1$ 和列

$1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.4

将元素

$a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$(2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.5

$a_{21}$ 的子式是已删除了行

$2$ 和列

$1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.6

将元素

$a_{21}$ 乘以其代数余子式。

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.7

$a_{31}$ 的子式是已删除了行

$3$ 和列

$1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.1.8

将元素

$a_{31}$ 乘以其代数余子式。

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.1.9

最后把这些项加起来。

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.2

将

$0$ 乘以

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - λ & 0 \end{array} |$ 。

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3

计算

$| \begin{array}{c} - λ & 0 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.3.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ (1 - λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3.2

化简行列式。

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解题步骤 5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1.1

运用分配律。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3.2.1.2

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - λ (- λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1.4.1

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.4.1.1

移动

$λ$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3.2.1.4.1.2

将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3.2.1.4.2

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3.2.1.4.3

将

$λ^{2}$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2} - 2 \cdot 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3.2.1.5

将

$- 2$ 乘以

$0$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2} + 0) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3.2.2

将

$- λ + λ^{2}$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = (2 - λ) (- λ + λ^{2}) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3.2.3

将

$- λ$ 和

$λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.4

计算

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 (1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

运用分配律。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 \cdot 1 + 2 (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 + 2 (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.3

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 - 2 λ - 2 \cdot 1) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.4

将

$- 2$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (2 - 2 λ - 2) + 0$

解题步骤 5.4.2.2

合并

$2 - 2 λ - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.4.2.2.1

从

$2$ 中减去

$2$ 。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ + 0) + 0$

解题步骤 5.4.2.2.2

将

$- 2 λ$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ) + 0$

解题步骤 5.5

化简行列式。

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解题步骤 5.5.1

将

$(2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$

解题步骤 5.5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.5.2.1

使用 FOIL 方法展开

$(2 - λ) (λ^{2} - λ)$ 。

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解题步骤 5.5.2.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 2 (λ^{2} - λ) - λ (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$

解题步骤 5.5.2.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- λ) - λ (λ^{2} - λ) - 1 (- 2 λ)$

解题步骤 5.5.2.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

解题步骤 5.5.2.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.2.2.1.1

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

解题步骤 5.5.2.2.1.2

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.2.2.1.2.1

移动

$λ^{2}$ 。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ) - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

解题步骤 5.5.2.2.1.2.2

将

$λ^{2}$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.5.2.2.1.2.2.1

对

$λ$ 进行

$1$ 次方运算。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

解题步骤 5.5.2.2.1.2.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{2 + 1} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

解题步骤 5.5.2.2.1.2.3

将

$2$ 和

$1$ 相加。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - λ (- λ) - 1 (- 2 λ)$

解题步骤 5.5.2.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 (- 2 λ)$

解题步骤 5.5.2.2.1.4

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.5.2.2.1.4.1

移动

$λ$ 。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 (- 2 λ)$

解题步骤 5.5.2.2.1.4.2

将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

解题步骤 5.5.2.2.1.5

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

解题步骤 5.5.2.2.1.6

将

$λ^{2}$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 2 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

解题步骤 5.5.2.2.2

将

$2 λ^{2}$ 和

$λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} - 1 (- 2 λ)$

解题步骤 5.5.2.3

将

$- 2$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 2 λ$

解题步骤 5.5.3

合并

$3 λ^{2} - 2 λ - λ^{3} + 2 λ$ 中相反的项。

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解题步骤 5.5.3.1

将

$- 2 λ$ 和

$2 λ$ 相加。

$p (λ) = 3 λ^{2} - λ^{3} + 0$

解题步骤 5.5.3.2

将

$3 λ^{2} - λ^{3}$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 3 λ^{2} - λ^{3}$

解题步骤 5.5.4

将

$3 λ^{2}$ 和

$- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2}$

解题步骤 6

使特征多项式等于

$0$ ，以求特征值

$λ$ 。

$- λ^{3} + 3 λ^{2} = 0$

解题步骤 7

求解

$λ$ 。

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解题步骤 7.1

从

$- λ^{3} + 3 λ^{2}$ 中分解出因数

$- λ^{2}$ 。

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解题步骤 7.1.1

从

$- λ^{3}$ 中分解出因数

$- λ^{2}$ 。

$- λ^{2} λ + 3 λ^{2} = 0$

解题步骤 7.1.2

从

$3 λ^{2}$ 中分解出因数

$- λ^{2}$ 。

$- λ^{2} λ - λ^{2} \cdot - 3 = 0$

解题步骤 7.1.3

从

$- λ^{2} (λ) - λ^{2} (- 3)$ 中分解出因数

$- λ^{2}$ 。

$- λ^{2} (λ - 3) = 0$

解题步骤 7.2

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$λ^{2} = 0$

$λ - 3 = 0$

解题步骤 7.3

将

$λ^{2}$ 设为等于

$0$ 并求解

$λ$ 。

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解题步骤 7.3.1

将

$λ^{2}$ 设为等于

$0$ 。

$λ^{2} = 0$

解题步骤 7.3.2

求解

$λ$ 的

$λ^{2} = 0$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$λ = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 7.3.2.2

化简

$\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 7.3.2.2.1

将

$0$ 重写为

$0^{2}$ 。

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 7.3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$λ = \pm 0$

解题步骤 7.3.2.2.3

正负

$0$ 是

$0$ 。

$λ = 0$

解题步骤 7.4

将

$λ - 3$ 设为等于

$0$ 并求解

$λ$ 。

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解题步骤 7.4.1

将

$λ - 3$ 设为等于

$0$ 。

$λ - 3 = 0$

解题步骤 7.4.2

在等式两边都加上

$3$ 。

$λ = 3$

解题步骤 7.5

最终解为使

$- λ^{2} (λ - 3) = 0$ 成立的所有值。

$λ = 0, 3$

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