线性代数示例

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程

p (λ)

$p (λ)$ 。

p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

解题步骤 2

大小为

2

$2$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的

2 \times 2

$2 \times 2$ 方阵。

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入

p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ 。

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解题步骤 3.1

代入

[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]$ 替换

A

$A$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ I_{2})$

解题步骤 3.2

代入

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 替换

I_{2}

$I_{2}$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将

- λ

$- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将

0

$0$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将

0

$0$ 乘以

λ

$λ$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将

0

$0$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将

0

$0$ 乘以

λ

$λ$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

将

2

$2$ 和

0

$0$ 相加。

p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将

3

$3$ 和

0

$0$ 相加。

p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]$

p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]$

p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

可以使用公式

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

p (λ) = (1 - λ) (5 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = (1 - λ) (5 - λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 5.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

使用 FOIL 方法展开

(1 - λ) (5 - λ)

$(1 - λ) (5 - λ)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

运用分配律。

p (λ) = 1 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.1.2

运用分配律。

p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.1.3

运用分配律。

p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.2.1.1

将

5

$5$ 乘以

1

$1$ 。

p (λ) = 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.2

将

- λ

$- λ$ 乘以

1

$1$ 。

p (λ) = 5 - λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.3

将

5

$5$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 5 - λ - 5 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.5

通过指数相加将

λ

$λ$ 乘以

λ

$λ$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1.5.1

移动

λ

$λ$ 。

p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.5.2

将

λ

$λ$ 乘以

λ

$λ$ 。

p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.6

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

p (λ) = 5 - λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.1.7

将

λ^{2}

$λ^{2}$ 乘以

1

$1$ 。

p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.2.2

从

- λ

$- λ$ 中减去

5 λ

$5 λ$ 。

p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

解题步骤 5.2.1.3

将

- 3

$- 3$ 乘以

2

$2$ 。

p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6$

p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6$

解题步骤 5.2.2

从

5

$5$ 中减去

6

$6$ 。

p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - 1

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - 1$

解题步骤 5.2.3

将

- 6 λ

$- 6 λ$ 和

λ^{2}

$λ^{2}$ 重新排序。

p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1$

p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1$

p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1$

解题步骤 6

使特征多项式等于

0

$0$ ，以求特征值

λ

$λ$ 。

λ^{2} - 6 λ - 1 = 0

$λ^{2} - 6 λ - 1 = 0$

解题步骤 7

求解

λ

$λ$ 。

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解题步骤 7.1

使用二次公式求解。

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.2

将

a = 1

$a = 1$ 、

b = - 6

$b = - 6$ 和

c = - 1

$c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解

λ

$λ$ 。

\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.3.1.1

对

- 6

$- 6$ 进行

2

$2$ 次方运算。

λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.2

乘以

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.1

将

- 4

$- 4$ 乘以

1

$1$ 。

λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.2.2

将

- 4

$- 4$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.3

将

36

$36$ 和

4

$4$ 相加。

λ = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.4

将

40

$40$ 重写为

2^{2} \cdot 10

$2^{2} \cdot 10$ 。

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解题步骤 7.3.1.4.1

从

40

$40$ 中分解出因数

4

$4$ 。

λ = \frac{6 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.4.2

将

4

$4$ 重写为

2^{2}

$2^{2}$ 。

λ = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.1.5

从根式下提出各项。

λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}

$λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.2

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}

$λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

解题步骤 7.3.3

化简

\frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ 。

λ = 3 \pm \sqrt{10}

$λ = 3 \pm \sqrt{10}$

λ = 3 \pm \sqrt{10}

$λ = 3 \pm \sqrt{10}$

解题步骤 7.4

最终答案为两个解的组合。

λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}

$λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}$

λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}

$λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}

$λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}$

小数形式：

λ = 6.16227766 \dots, - 0.16227766 \dots

$λ = 6.16227766 \dots, - 0.16227766 \dots$

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