线性代数示例

$[\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程

$p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

解题步骤 2

大小为

$3$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的

$3 \times 3$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ 。

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解题步骤 3.1

代入

$[\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$ 替换

$A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

解题步骤 3.2

代入

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换

$I_{3}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将

$- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.5

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.7.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8

乘以

$- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.8.1

将

$0$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8.2

将

$0$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.9

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

将

$4$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将

$3$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.4

将

$2$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

将

$- 1$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.1.3

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.4

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.7

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.1.8

Multiply element

$a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 5.2

将

$0$ 乘以

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$ 。

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3

计算

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.3.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = - 4 (1 (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3.2

化简行列式。

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解题步骤 5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1.1

将

$- 1 - λ$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3.2.1.2

乘以

$- (- 1 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - - 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

将

$- 1$ 乘以

$- 2$ 。

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.3.2.2

将

$- 1$ 和

$2$ 相加。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.4

计算

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.4.1

可以使用公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开

$(- 1 - λ) (- 1 - λ)$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.2

乘以

$- 1 (- λ)$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1.2.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 1 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.2.2

将

$λ$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.3

乘以

$- λ \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1.3.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + 1 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.3.2

将

$λ$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.5

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1.5.1

移动

$λ$ 。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.5.2

将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.6

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.7

将

$λ^{2}$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.2

将

$λ$ 和

$λ$ 相加。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.3

乘以

$- (- 1 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.3.1

将

$- 1$ 乘以

$3$ 。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - - 3) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.3.2

将

$- 1$ 乘以

$- 3$ 。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} + 3) + 0$

解题步骤 5.4.2.2

将

$1$ 和

$3$ 相加。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (2 λ + λ^{2} + 4) + 0$

解题步骤 5.4.2.3

将

$2 λ$ 和

$λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 0$

解题步骤 5.5

化简行列式。

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解题步骤 5.5.1

将

$- 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

解题步骤 5.5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.5.2.1

运用分配律。

$p (λ) = - 4 (- λ) - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

解题步骤 5.5.2.2

将

$- 1$ 乘以

$- 4$ 。

$p (λ) = 4 λ - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

解题步骤 5.5.2.3

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 4 λ - 4 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

解题步骤 5.5.2.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开

$(1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ 。

$p (λ) = 4 λ - 4 + 1 λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

解题步骤 5.5.2.5

化简每一项。

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解题步骤 5.5.2.5.1

将

$λ^{2}$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

解题步骤 5.5.2.5.2

将

$2 λ$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

解题步骤 5.5.2.5.3

将

$4$ 乘以

$1$ 。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

解题步骤 5.5.2.5.4

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.4.1

移动

$λ^{2}$ 。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

解题步骤 5.5.2.5.4.2

将

$λ^{2}$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.4.2.1

对

$λ$ 进行

$1$ 次方运算。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

解题步骤 5.5.2.5.4.2.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

解题步骤 5.5.2.5.4.3

将

$2$ 和

$1$ 相加。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

解题步骤 5.5.2.5.5

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - λ \cdot 4$

解题步骤 5.5.2.5.6

通过指数相加将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.6.1

移动

$λ$ 。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4$

解题步骤 5.5.2.5.6.2

将

$λ$ 乘以

$λ$ 。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

解题步骤 5.5.2.5.7

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

解题步骤 5.5.2.5.8

将

$4$ 乘以

$- 1$ 。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - 4 λ$

解题步骤 5.5.2.6

从

$λ^{2}$ 中减去

$2 λ^{2}$ 。

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ$

解题步骤 5.5.2.7

从

$2 λ$ 中减去

$4 λ$ 。

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$

解题步骤 5.5.3

合并

$4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.5.3.1

将

$- 4$ 和

$4$ 相加。

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ + 0 - λ^{3}$

解题步骤 5.5.3.2

将

$4 λ - λ^{2} - 2 λ$ 和

$0$ 相加。

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ - λ^{3}$

解题步骤 5.5.4

从

$4 λ$ 中减去

$2 λ$ 。

$p (λ) = - λ^{2} + 2 λ - λ^{3}$

解题步骤 5.5.5

移动

$2 λ$ 。

$p (λ) = - λ^{2} - λ^{3} + 2 λ$

解题步骤 5.5.6

将

$- λ^{2}$ 和

$- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$

解题步骤 6

使特征多项式等于

$0$ ，以求特征值

$λ$ 。

$- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ = 0$

解题步骤 7

求解

$λ$ 。

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解题步骤 7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 7.1.1

从

$- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$ 中分解出因数

$- λ$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

从

$- λ^{3}$ 中分解出因数

$- λ$ 。

$- λ \cdot λ^{2} - λ^{2} + 2 λ = 0$

解题步骤 7.1.1.2

从

$- λ^{2}$ 中分解出因数

$- λ$ 。

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ + 2 λ = 0$

解题步骤 7.1.1.3

从

$2 λ$ 中分解出因数

$- λ$ 。

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 2 = 0$

解题步骤 7.1.1.4

从

$- λ (λ^{2}) - λ (λ)$ 中分解出因数

$- λ$ 。

$- λ (λ^{2} + λ) - λ \cdot - 2 = 0$

解题步骤 7.1.1.5

从

$- λ (λ^{2} + λ) - λ (- 2)$ 中分解出因数

$- λ$ 。

$- λ (λ^{2} + λ - 2) = 0$

解题步骤 7.1.2

因数。

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解题步骤 7.1.2.1

使用 AC 法来对

$λ^{2} + λ - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.1.2.1.1

思考一下

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

$c$ ，且和为

$b$ 。在本例中，其积即为

$- 2$ ，和为

$1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 7.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- λ ((λ - 1) (λ + 2)) = 0$

解题步骤 7.1.2.2

去掉多余的括号。

$- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$

解题步骤 7.2

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$λ = 0$

$λ - 1 = 0$

$λ + 2 = 0$

解题步骤 7.3

将

$λ$ 设为等于

$0$ 。

$λ = 0$

解题步骤 7.4

将

$λ - 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$λ$ 。

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解题步骤 7.4.1

将

$λ - 1$ 设为等于

$0$ 。

$λ - 1 = 0$

解题步骤 7.4.2

在等式两边都加上

$1$ 。

$λ = 1$

解题步骤 7.5

将

$λ + 2$ 设为等于

$0$ 并求解

$λ$ 。

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解题步骤 7.5.1

将

$λ + 2$ 设为等于

$0$ 。

$λ + 2 = 0$

解题步骤 7.5.2

从等式两边同时减去

$2$ 。

$λ = - 2$

解题步骤 7.6

最终解为使

$- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$ 成立的所有值。

$λ = 0, 1, - 2$

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