示例

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y - 3 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $3$ 。

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$

解题步骤 2

对 $x^{2} + 12 x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 12$

$c = 0$

解题步骤 2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{12}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2

约去 $12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)}$

解题步骤 2.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{6}{1}$

解题步骤 2.3.2.2.4

用 $6$ 除以 $1$ 。

$d = 6$

解题步骤 2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{144}{4}$

解题步骤 2.4.2.1.3

用 $144$ 除以 $4$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 36$

解题步骤 2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$e = 0 - 36$

解题步骤 2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $36$ 。

$e = - 36$

解题步骤 2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x + 6)}^{2} - 36$ 。

${(x + 6)}^{2} - 36$

解题步骤 3

在方程 $x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$ 中，用 ${(x + 6)}^{2} - 36$ 代替 $x^{2} + 12 x$ 。

${(x + 6)}^{2} - 36 - y^{2} - 12 y = 3$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上 $36$ 的方法来将 $- 36$ 移到等式右边。

${(x + 6)}^{2} - y^{2} - 12 y = 3 + 36$

解题步骤 5

对 $- y^{2} - 12 y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = - 12$

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $- 12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.3.2.1.2

移动 $\frac{- 6}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot - 6$

解题步骤 5.3.2.2

将 $- 1 \cdot - 6$ 重写为 $- - 6$ 。

$d = - - 6$

解题步骤 5.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$d = 6$

解题步骤 5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 0 - \frac{144}{- 4}$

解题步骤 5.4.2.1.3

用 $144$ 除以 $- 4$ 。

$e = 0 - - 36$

解题步骤 5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 36$ 。

$e = 0 + 36$

解题步骤 5.4.2.2

将 $0$ 和 $36$ 相加。

$e = 36$

解题步骤 5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(y + 6)}^{2} + 36$ 。

$- {(y + 6)}^{2} + 36$

解题步骤 6

在方程 $x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$ 中，用 $- {(y + 6)}^{2} + 36$ 代替 $- y^{2} - 12 y$ 。

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} + 36 = 3 + 36$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上 $36$ 的方法来将 $36$ 移到等式右边。

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3 + 36 - 36$

解题步骤 8

化简 $3 + 36 - 36$ 。

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解题步骤 8.1

将 $3$ 和 $36$ 相加。

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 39 - 36$

解题步骤 8.2

从 $39$ 中减去 $36$ 。

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3$

解题步骤 9

将每一项除以 $3$ 以使方程右边等于一。

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{3} - \frac{{(y + 6)}^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

解题步骤 10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{3} - \frac{{(y + 6)}^{2}}{3} = 1$

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