示例

$x - y = 4$ , $4 x - y = - 5$

解题步骤 1

要求经过点 $(p, q, r)$ 且垂直于平面 $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ 和平面 $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ 直线的交点：

1. 求平面 $P_{1}$ 和平面 $P_{2}$ 的法向量 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 和 $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。检验其点积是否为 0。

2. 创建一个参数方程组，比如 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ 。

3. 将这些等式代入平面方程 $P_{2}$ ，使得 $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ 并求解 $t$ 。

4. 使用 $t$ 的值，求解参数方程 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ ，以求 $t$ 的交集 $(x, y, z)$ 。

解题步骤 2

求每一平面的法向量并通过计算点积来判断它们是否垂直。

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解题步骤 2.1

$P_{1}$ 为 $x - y = 4$ 。求平面方程 $a x + b y + c z = d$ 的法向量 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 。

$n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩$

解题步骤 2.2

$P_{2}$ 为 $4 x - y = - 5$ 。求平面方程 $e x + f y + g z = h$ 的法向量 $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。

$n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

解题步骤 2.3

将法向量中相对应的 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 数值乘积相加，计算 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 的点积。

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

解题步骤 2.4

化简点积。

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解题步骤 2.4.1

去掉圆括号。

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

解题步骤 2.4.2

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

解题步骤 2.4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 + 1 + 0 \cdot 0$

解题步骤 2.4.2.3

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$4 + 1 + 0$

解题步骤 2.4.3

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$5 + 0$

解题步骤 2.4.3.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$5$

解题步骤 3

下一步，使用点 $(p, q, r)$ 的原点 $(0, 0, 0)$ 和标准向量 $5$ 的 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值，建立一组参数方程 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ 。这组参数方程表示经过原点并与 $P_{1}$ $x - y = 4$ 垂直的直线。

$x = 0 + 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

解题步骤 4

将表达式 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 代入 $P_{2}$ $4 x - y = - 5$ 的方程。

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

解题步骤 5

求解 $t$ 的方程。

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解题步骤 5.1

化简 $4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ 。

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解题步骤 5.1.1

合并 $4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.1.1

将 $0$ 和 $1 \cdot t$ 相加。

$4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

解题步骤 5.1.1.2

从 $0$ 中减去 $1 \cdot t$ 。

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

解题步骤 5.1.2

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$4 t - (- 1 \cdot t) = - 5$

解题步骤 5.1.2.2

将 $- 1 t$ 重写为 $- t$ 。

$4 t - - t = - 5$

解题步骤 5.1.2.3

乘以 $- - t$ 。

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解题步骤 5.1.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 t + 1 t = - 5$

解题步骤 5.1.2.3.2

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$4 t + t = - 5$

解题步骤 5.1.3

将 $4 t$ 和 $t$ 相加。

$5 t = - 5$

解题步骤 5.2

将 $5 t = - 5$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $5 t = - 5$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{- 5}{5}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

用 $- 5$ 除以 $5$ 。

$t = - 1$

解题步骤 6

使用 $t$ 的值求解 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的参数方程。

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解题步骤 6.1

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.1.1

去掉圆括号。

$x = 0 + 1 \cdot (- 1)$

解题步骤 6.1.2

化简 $0 + 1 \cdot (- 1)$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x = 0 - 1$

解题步骤 6.1.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 6.2

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 6.2.1

去掉圆括号。

$y = 0 - 1 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.2

化简 $0 - 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 0 + 1$

解题步骤 6.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$y = 1$

解题步骤 6.3

求解 $z$ 的方程。

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解题步骤 6.3.1

去掉圆括号。

$z = 0 + 0 \cdot (- 1)$

解题步骤 6.3.2

化简 $0 + 0 \cdot (- 1)$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$z = 0 + 0$

解题步骤 6.3.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$z = 0$

解题步骤 6.4

所求得的 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的参数方程。

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

解题步骤 7

使用对 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 计算所得的值，求得的交点为 $(- 1, 1, 0)$ 。

$(- 1, 1, 0)$

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