有限数学示例

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ ,

x + y = 2

$x + y = 2$

解题步骤 1

从等式两边同时减去

y

$y$ 。

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

解题步骤 2

将每个方程中所有出现的

x

$x$ 替换成

2 - y

$2 - y$ 。

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解题步骤 2.1

使用

2 - y

$2 - y$ 替换

6 x^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 x^{2} + 3 y^{2} = 12$ 中所有出现的

x

$x$ .

6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简

6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2}

$6 {(2 - y)}^{2} + 3 y^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1.1

将

{(2 - y)}^{2}

${(2 - y)}^{2}$ 重写为

(2 - y) (2 - y)

$(2 - y) (2 - y)$ 。

6 ((2 - y) (2 - y)) + 3 y^{2} = 12

$6 ((2 - y) (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.2

使用 FOIL 方法展开

(2 - y) (2 - y)

$(2 - y) (2 - y)$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

运用分配律。

6 (2 (2 - y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 (2 - y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

运用分配律。

6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y (2 - y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.2.3

运用分配律。

6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (2 \cdot 2 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1.1

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

6 (4 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 + 2 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.2

将

- 1

$- 1$ 乘以

2

$2$ 。

6 (4 - 2 y - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - y \cdot 2 - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.3

将

2

$2$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

6 (4 - 2 y - 2 y - y (- y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - y (- y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.5

通过指数相加将

y

$y$ 乘以

y

$y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.3.1.5.1

移动

y

$y$ 。

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.5.2

将

y

$y$ 乘以

y

$y$ 。

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.6

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

6 (4 - 2 y - 2 y + 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y + 1 y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.1.7

将

y^{2}

$y^{2}$ 乘以

1

$1$ 。

6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 2 y - 2 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.3.2

从

- 2 y

$- 2 y$ 中减去

2 y

$2 y$ 。

6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12

$6 (4 - 4 y + y^{2}) + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.4

运用分配律。

6 \cdot 4 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$6 \cdot 4 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.5

化简。

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解题步骤 2.2.1.1.5.1

将

6

$6$ 乘以

4

$4$ 。

24 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 + 6 (- 4 y) + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.1.5.2

将

- 4

$- 4$ 乘以

6

$6$ 。

24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 6 y^{2} + 3 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 2.2.1.2

将

6 y^{2}

$6 y^{2}$ 和

3 y^{2}

$3 y^{2}$ 相加。

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3

在

24 - 24 y + 9 y^{2} = 12

$24 - 24 y + 9 y^{2} = 12$ 中求解

y

$y$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去

12

$12$ 。

24 - 24 y + 9 y^{2} - 12 = 0

$24 - 24 y + 9 y^{2} - 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.2

从

24

$24$ 中减去

12

$12$ 。

- 24 y + 9 y^{2} + 12 = 0

$- 24 y + 9 y^{2} + 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1

从

- 24 y + 9 y^{2} + 12

$- 24 y + 9 y^{2} + 12$ 中分解出因数

3

$3$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

从

- 24 y

$- 24 y$ 中分解出因数

3

$3$ 。

3 (- 8 y) + 9 y^{2} + 12 = 0

$3 (- 8 y) + 9 y^{2} + 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.1.2

从

9 y^{2}

$9 y^{2}$ 中分解出因数

3

$3$ 。

3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 12 = 0

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 12 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.1.3

从

12

$12$ 中分解出因数

3

$3$ 。

3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 3 (4) = 0

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.1.4

从

3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2})

$3 (- 8 y) + 3 (3 y^{2})$ 中分解出因数

3

$3$ 。

3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4) = 0

$3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.1.5

从

3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4)

$3 (- 8 y + 3 y^{2}) + 3 (4)$ 中分解出因数

3

$3$ 。

3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0

$3 (- 8 y + 3 y^{2} + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.2

使

u = y

$u = y$ 。用

u

$u$ 代入替换所有出现的

y

$y$ 。

3 (- 8 u + 3 u^{2} + 4) = 0

$3 (- 8 u + 3 u^{2} + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.3

分组因式分解。

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解题步骤 3.3.3.1

重新排序项。

3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.3.2

对于

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为

a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12

$a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ 并且它们的和为

b = - 8

$b = - 8$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.1

从

- 8 u

$- 8 u$ 中分解出因数

- 8

$- 8$ 。

3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 8 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.3.2.2

把

- 8

$- 8$ 重写为

- 2

$- 2$ 加

- 6

$- 6$

3 (3 u^{2} + (- 2 - 6) u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} + (- 2 - 6) u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.3.2.3

运用分配律。

3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0

$3 (3 u^{2} - 2 u - 6 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.3.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

3 ((3 u^{2} - 2 u) - 6 u + 4) = 0

$3 ((3 u^{2} - 2 u) - 6 u + 4) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.3.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0

$3 (u (3 u - 2) - 2 (3 u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.3.4

通过因式分解出最大公因数

3 u - 2

$3 u - 2$ 来因式分解多项式。

3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0

$3 ((3 u - 2) (u - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.4

因数。

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解题步骤 3.3.4.1

使用

y

$y$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

3 ((3 y - 2) (y - 2)) = 0

$3 ((3 y - 2) (y - 2)) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.3.4.2

去掉多余的括号。

3 (3 y - 2) (y - 2) = 0

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (3 y - 2) (y - 2) = 0

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

3 (3 y - 2) (y - 2) = 0

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

3 y - 2 = 0

$3 y - 2 = 0$

y - 2 = 0

$y - 2 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.5

将

3 y - 2

$3 y - 2$ 设为等于

0

$0$ 并求解

y

$y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将

3 y - 2

$3 y - 2$ 设为等于

0

$0$ 。

3 y - 2 = 0

$3 y - 2 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.5.2

求解

y

$y$ 的

3 y - 2 = 0

$3 y - 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

在等式两边都加上

2

$2$ 。

3 y = 2

$3 y = 2$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.5.2.2

将

3 y = 2

$3 y = 2$ 中的每一项除以

3

$3$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将

3 y = 2

$3 y = 2$ 中的每一项都除以

3

$3$ 。

\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去

3

$3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.5.2.2.2.1.2

用

y

$y$ 除以

1

$1$ 。

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.6

将

y - 2

$y - 2$ 设为等于

0

$0$ 并求解

y

$y$ 。

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解题步骤 3.6.1

将

y - 2

$y - 2$ 设为等于

0

$0$ 。

y - 2 = 0

$y - 2 = 0$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.6.2

在等式两边都加上

2

$2$ 。

y = 2

$y = 2$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

y = 2

$y = 2$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 3.7

最终解为使

3 (3 y - 2) (y - 2) = 0

$3 (3 y - 2) (y - 2) = 0$ 成立的所有值。

y = \frac{2}{3}, 2

$y = \frac{2}{3}, 2$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

y = \frac{2}{3}, 2

$y = \frac{2}{3}, 2$

x = 2 - y

$x = 2 - y$

解题步骤 4

将每个方程中所有出现的

y

$y$ 替换成

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ 。

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解题步骤 4.1

使用

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ 替换

x = 2 - y

$x = 2 - y$ 中所有出现的

y

$y$ .

x = 2 - (\frac{2}{3})

$x = 2 - (\frac{2}{3})$

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

化简

2 - (\frac{2}{3})

$2 - (\frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

要将

2

$2$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

x = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}

$x = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2.1.2

组合

2

$2$ 和

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ 。

x = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}

$x = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2.1.3

在公分母上合并分子。

x = \frac{2 \cdot 3 - 2}{3}

$x = \frac{2 \cdot 3 - 2}{3}$

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 4.2.1.4.1

将

2

$2$ 乘以

3

$3$ 。

x = \frac{6 - 2}{3}

$x = \frac{6 - 2}{3}$

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

解题步骤 4.2.1.4.2

从

6

$6$ 中减去

2

$2$ 。

x = \frac{4}{3}

$x = \frac{4}{3}$

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

x = \frac{4}{3}

$x = \frac{4}{3}$

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

x = \frac{4}{3}

$x = \frac{4}{3}$

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

x = \frac{4}{3}

$x = \frac{4}{3}$

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

x = \frac{4}{3}

$x = \frac{4}{3}$

y = \frac{2}{3}

$y = \frac{2}{3}$

解题步骤 5

将每个方程中所有出现的

y

$y$ 替换成

2

$2$ 。

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解题步骤 5.1

使用

2

$2$ 替换

x = 2 - y

$x = 2 - y$ 中所有出现的

y

$y$ .

x = 2 - (2)

$x = 2 - (2)$

y = 2

$y = 2$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简

2 - (2)

$2 - (2)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

2

$2$ 。

x = 2 - 2

$x = 2 - 2$

y = 2

$y = 2$

解题步骤 5.2.1.2

从

2

$2$ 中减去

2

$2$ 。

x = 0

$x = 0$

y = 2

$y = 2$

x = 0

$x = 0$

y = 2

$y = 2$

x = 0

$x = 0$

y = 2

$y = 2$

x = 0

$x = 0$

y = 2

$y = 2$

解题步骤 6

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$

(0, 2)

$(0, 2)$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

点形式：

(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}), (0, 2)

$(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}), (0, 2)$

方程形式：

x = \frac{4}{3}, y = \frac{2}{3}

$x = \frac{4}{3}, y = \frac{2}{3}$

x = 0, y = 2

$x = 0, y = 2$

解题步骤 8

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