有限数学示例

5 x - y = - 2

$5 x - y = - 2$ ,

3 x - 4 y = 0

$3 x - 4 y = 0$

解题步骤 1

以矩阵形式表示方程组。

[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 2

求系数矩阵

[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ 的行列式。

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解题步骤 2.1

用行列式书写

[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ 。

| \begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 2.2

可以使用公式

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

5 \cdot - 4 - 3 \cdot - 1

$5 \cdot - 4 - 3 \cdot - 1$

解题步骤 2.3

化简行列式。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将

5

$5$ 乘以

- 4

$- 4$ 。

- 20 - 3 \cdot - 1

$- 20 - 3 \cdot - 1$

解题步骤 2.3.1.2

将

- 3

$- 3$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

- 20 + 3

$- 20 + 3$

- 20 + 3

$- 20 + 3$

解题步骤 2.3.2

将

- 20

$- 20$ 和

3

$3$ 相加。

- 17

$- 17$

- 17

$- 17$

D = - 17

$D = - 17$

解题步骤 3

由于行列式不为

0

$0$ ，方程组可以用克莱姆法则求解。

解题步骤 4

使用克莱姆法则求

x

$x$ 的值，即

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ 。

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解题步骤 4.1

将方程组的

x

$x$ 系数对应的系数矩阵的列

1

$1$ 替换为

[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$ 。

| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 0 & - 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 0 & - 4 \end{array} |$

解题步骤 4.2

求行列式。

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解题步骤 4.2.1

可以使用公式

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

- 2 \cdot - 4 + 0 \cdot - 1

$- 2 \cdot - 4 + 0 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将

- 2

$- 2$ 乘以

- 4

$- 4$ 。

8 + 0 \cdot - 1

$8 + 0 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.2.1.2

将

0

$0$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

8 + 0

$8 + 0$

8 + 0

$8 + 0$

解题步骤 4.2.2.2

将

8

$8$ 和

0

$0$ 相加。

8

$8$

8

$8$

D_{x} = 8

$D_{x} = 8$

解题步骤 4.3

用公式求解

x

$x$ 。

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$

解题步骤 4.4

在公式中将

D

$D$ 替换为

- 17

$- 17$ ，将

D_{x}

$D_{x}$ 替换为

8

$8$ 。

x = \frac{8}{- 17}

$x = \frac{8}{- 17}$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

x = - \frac{8}{17}

$x = - \frac{8}{17}$

x = - \frac{8}{17}

$x = - \frac{8}{17}$

解题步骤 5

使用克莱姆法则求

y

$y$ 的值，即

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$ 。

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解题步骤 5.1

将方程组的

y

$y$ 系数对应的系数矩阵的列

2

$2$ 替换为

[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$ 。

| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 3 & 0 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 3 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.2

求行列式。

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解题步骤 5.2.1

可以使用公式

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求

2 \times 2

$2 \times 2$ 矩阵的行列式。

5 \cdot 0 - 3 \cdot - 2

$5 \cdot 0 - 3 \cdot - 2$

解题步骤 5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

将

5

$5$ 乘以

0

$0$ 。

0 - 3 \cdot - 2

$0 - 3 \cdot - 2$

解题步骤 5.2.2.1.2

将

- 3

$- 3$ 乘以

- 2

$- 2$ 。

0 + 6

$0 + 6$

0 + 6

$0 + 6$

解题步骤 5.2.2.2

将

0

$0$ 和

6

$6$ 相加。

6

$6$

6

$6$

D_{y} = 6

$D_{y} = 6$

解题步骤 5.3

用公式求解

y

$y$ 。

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$

解题步骤 5.4

在公式中将

D

$D$ 替换为

- 17

$- 17$ ，将

D_{y}

$D_{y}$ 替换为

6

$6$ 。

y = \frac{6}{- 17}

$y = \frac{6}{- 17}$

解题步骤 5.5

将负号移到分数的前面。

y = - \frac{6}{17}

$y = - \frac{6}{17}$

y = - \frac{6}{17}

$y = - \frac{6}{17}$

解题步骤 6

列出方程组的解。

x = - \frac{8}{17}

$x = - \frac{8}{17}$

y = - \frac{6}{17}

$y = - \frac{6}{17}$

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