有限数学示例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 7 & 0.2 \\ 11 & 0.1 \\ 14 & 0.3 \\ 17 & 0.2 \\ 20 & 0.2 \end{array}$

解题步骤 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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解题步骤 1.1

取自独立值集合（例如 $0$ 、 $1$ 、 $2$ ……）的离散随机变量 $x$ 。其概率分布将概率 $x$ 赋值给每一个可能值 $P (x)$ 。对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，且所有可能 $x$ 值的概率之和等于 $1$ 。

1. 对每一个 $x$ ， $0 \leq P (x) \leq 1$ 。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

解题步骤 1.2

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.3

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.4

$0.3$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.3$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.5

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.6

对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的 $0 \leq P (x) \leq 1$

解题步骤 1.7

求所有可能 $x$ 值的概率之和。

$0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

解题步骤 1.8

所有可能 $x$ 值的概率之和为 $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$ 。

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解题步骤 1.8.1

将 $0.2$ 和 $0.1$ 相加。

$0.3 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

解题步骤 1.8.2

将 $0.3$ 和 $0.3$ 相加。

$0.6 + 0.2 + 0.2$

解题步骤 1.8.3

将 $0.6$ 和 $0.2$ 相加。

$0.8 + 0.2$

解题步骤 1.8.4

将 $0.8$ 和 $0.2$ 相加。

$1$

解题步骤 1.9

对于每一个 $x$ ， $P (x)$ 的概率都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间内。此外，所有可能的 $x$ 的概率之和等于 $1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

解题步骤 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

$u = 7 \cdot 0.2 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.3 + 17 \cdot 0.2 + 20 \cdot 0.2$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

将 $7$ 乘以 $0.2$ 。

$u = 1.4 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.3 + 17 \cdot 0.2 + 20 \cdot 0.2$

解题步骤 3.2

将 $11$ 乘以 $0.1$ 。

$u = 1.4 + 1.1 + 14 \cdot 0.3 + 17 \cdot 0.2 + 20 \cdot 0.2$

解题步骤 3.3

将 $14$ 乘以 $0.3$ 。

$u = 1.4 + 1.1 + 4.2 + 17 \cdot 0.2 + 20 \cdot 0.2$

解题步骤 3.4

将 $17$ 乘以 $0.2$ 。

$u = 1.4 + 1.1 + 4.2 + 3.4 + 20 \cdot 0.2$

解题步骤 3.5

将 $20$ 乘以 $0.2$ 。

$u = 1.4 + 1.1 + 4.2 + 3.4 + 4$

解题步骤 4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1

将 $1.4$ 和 $1.1$ 相加。

$u = 2.5 + 4.2 + 3.4 + 4$

解题步骤 4.2

将 $2.5$ 和 $4.2$ 相加。

$u = 6.7 + 3.4 + 4$

解题步骤 4.3

将 $6.7$ 和 $3.4$ 相加。

$u = 10.1 + 4$

解题步骤 4.4

将 $10.1$ 和 $4$ 相加。

$u = 14.1$

解题步骤 5

分布的方差是对离差的度量并等于标准差的平方。

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

解题步骤 6

填入已知值。

${(7 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(11 - (14.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

将 $- 1$ 乘以 $14.1$ 。

${(7 - 14.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(11 - (14.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.2

从 $7$ 中减去 $14.1$ 。

${(- 7.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(11 - (14.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.3

对 $- 7.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$50.41 \cdot 0.2 + {(11 - (14.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.4

将 $50.41$ 乘以 $0.2$ 。

$10.082 + {(11 - (14.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $14.1$ 。

$10.082 + {(11 - 14.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.6

从 $11$ 中减去 $14.1$ 。

$10.082 + {(- 3.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.7

对 $- 3.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$10.082 + 9.61 \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.8

将 $9.61$ 乘以 $0.1$ 。

$10.082 + 0.961 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.9

将 $- 1$ 乘以 $14.1$ 。

$10.082 + 0.961 + {(14 - 14.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.10

从 $14$ 中减去 $14.1$ 。

$10.082 + 0.961 + {(- 0.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.11

对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$10.082 + 0.961 + 0.01 \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.12

将 $0.01$ 乘以 $0.3$ 。

$10.082 + 0.961 + 0.003 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.13

将 $- 1$ 乘以 $14.1$ 。

$10.082 + 0.961 + 0.003 + {(17 - 14.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.14

从 $17$ 中减去 $14.1$ 。

$10.082 + 0.961 + 0.003 + {2.9}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.15

对 $2.9$ 进行 $2$ 次方运算。

$10.082 + 0.961 + 0.003 + 8.41 \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.16

将 $8.41$ 乘以 $0.2$ 。

$10.082 + 0.961 + 0.003 + 1.682 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.17

将 $- 1$ 乘以 $14.1$ 。

$10.082 + 0.961 + 0.003 + 1.682 + {(20 - 14.1)}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.18

从 $20$ 中减去 $14.1$ 。

$10.082 + 0.961 + 0.003 + 1.682 + {5.9}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.19

对 $5.9$ 进行 $2$ 次方运算。

$10.082 + 0.961 + 0.003 + 1.682 + 34.81 \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.20

将 $34.81$ 乘以 $0.2$ 。

$10.082 + 0.961 + 0.003 + 1.682 + 6.962$

解题步骤 7.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $10.082$ 和 $0.961$ 相加。

$11.043 + 0.003 + 1.682 + 6.962$

解题步骤 7.2.2

将 $11.043$ 和 $0.003$ 相加。

$11.046 + 1.682 + 6.962$

解题步骤 7.2.3

将 $11.046$ 和 $1.682$ 相加。

$12.728 + 6.962$

解题步骤 7.2.4

将 $12.728$ 和 $6.962$ 相加。

$19.69$

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