有限数学示例

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 5 & 0.1 \\ 8 & 0.2 \\ 1 & 0.1 \\ 14 & 0.2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 5 & 0.1 \\ 8 & 0.2 \\ 1 & 0.1 \\ 14 & 0.2 \end{array}$

解题步骤 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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解题步骤 1.1

取自独立值集合（例如

0

$0$ 、

1

$1$ 、

2

$2$ ……）的离散随机变量

x

$x$ 。其概率分布将概率

x

$x$ 赋值给每一个可能值

P (x)

$P (x)$ 。对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，且所有可能

x

$x$ 值的概率之和等于

1

$1$ 。

1. 对每一个

x

$x$ ，

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ 。

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

解题步骤 1.2

0.4

$0.4$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.4

$0.4$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.3

0.1

$0.1$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.1

$0.1$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.4

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.5

0.1

$0.1$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.1

$0.1$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.6

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.7

对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

解题步骤 1.8

求所有可能

x

$x$ 值的概率之和。

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2$

解题步骤 1.9

所有可能

x

$x$ 值的概率之和为

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$ 。

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解题步骤 1.9.1

将

0.4

$0.4$ 和

0.1

$0.1$ 相加。

0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.2

$0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.2$

解题步骤 1.9.2

将

0.5

$0.5$ 和

0.2

$0.2$ 相加。

0.7 + 0.1 + 0.2

$0.7 + 0.1 + 0.2$

解题步骤 1.9.3

将

0.7

$0.7$ 和

0.1

$0.1$ 相加。

0.8 + 0.2

$0.8 + 0.2$

解题步骤 1.9.4

将

0.8

$0.8$ 和

0.2

$0.2$ 相加。

1

$1$

1

$1$

解题步骤 1.10

对于每一个

x

$x$ ，

P (x)

$P (x)$ 的概率都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间内。此外，所有可能的

x

$x$ 的概率之和等于

1

$1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$

解题步骤 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

u = 1 \cdot 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$u = 1 \cdot 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

将

0.4

$0.4$ 乘以

1

$1$ 。

u = 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$u = 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

解题步骤 3.2

将

5

$5$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

u = 0.4 + 0.5 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$u = 0.4 + 0.5 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

解题步骤 3.3

将

8

$8$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

解题步骤 3.4

将

0.1

$0.1$ 乘以

1

$1$ 。

u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 14 \cdot 0.2

$u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 14 \cdot 0.2$

解题步骤 3.5

将

14

$14$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 2.8

$u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 2.8$

u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 2.8

$u = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 2.8$

解题步骤 4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1

将

0.4

$0.4$ 和

0.5

$0.5$ 相加。

u = 0.9 + 1.6 + 0.1 + 2.8

$u = 0.9 + 1.6 + 0.1 + 2.8$

解题步骤 4.2

将

0.9

$0.9$ 和

1.6

$1.6$ 相加。

u = 2.5 + 0.1 + 2.8

$u = 2.5 + 0.1 + 2.8$

解题步骤 4.3

将

2.5

$2.5$ 和

0.1

$0.1$ 相加。

u = 2.6 + 2.8

$u = 2.6 + 2.8$

解题步骤 4.4

将

2.6

$2.6$ 和

2.8

$2.8$ 相加。

u = 5.4

$u = 5.4$

u = 5.4

$u = 5.4$

解题步骤 5

分布的方差是对离差的度量并等于标准差的平方。

s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

解题步骤 6

填入已知值。

{(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

${(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

5.4

$5.4$ 。

{(1 - 5.4)}^{2} \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

${(1 - 5.4)}^{2} \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.2

从

1

$1$ 中减去

5.4

$5.4$ 。

{(- 4.4)}^{2} \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

${(- 4.4)}^{2} \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.3

对

- 4.4

$- 4.4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

19.36 \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$19.36 \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.4

将

19.36

$19.36$ 乘以

0.4

$0.4$ 。

7.744 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.5

将

- 1

$- 1$ 乘以

5.4

$5.4$ 。

7.744 + {(5 - 5.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + {(5 - 5.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.6

从

5

$5$ 中减去

5.4

$5.4$ 。

7.744 + {(- 0.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + {(- 0.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.7

对

- 0.4

$- 0.4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

7.744 + 0.16 \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.16 \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.8

将

0.16

$0.16$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

7.744 + 0.016 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.9

将

- 1

$- 1$ 乘以

5.4

$5.4$ 。

7.744 + 0.016 + {(8 - 5.4)}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + {(8 - 5.4)}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.10

从

8

$8$ 中减去

5.4

$5.4$ 。

7.744 + 0.016 + {2.6}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + {2.6}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.11

对

2.6

$2.6$ 进行

2

$2$ 次方运算。

7.744 + 0.016 + 6.76 \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 6.76 \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.12

将

6.76

$6.76$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

7.744 + 0.016 + 1.352 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.13

将

- 1

$- 1$ 乘以

5.4

$5.4$ 。

7.744 + 0.016 + 1.352 + {(1 - 5.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + {(1 - 5.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.14

从

1

$1$ 中减去

5.4

$5.4$ 。

7.744 + 0.016 + 1.352 + {(- 4.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + {(- 4.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.15

对

- 4.4

$- 4.4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

7.744 + 0.016 + 1.352 + 19.36 \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + 19.36 \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.16

将

19.36

$19.36$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.17

将

- 1

$- 1$ 乘以

5.4

$5.4$ 。

7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + {(14 - 5.4)}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + {(14 - 5.4)}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.18

从

14

$14$ 中减去

5.4

$5.4$ 。

7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + {8.6}^{2} \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + {8.6}^{2} \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.19

对

8.6

$8.6$ 进行

2

$2$ 次方运算。

7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + 73.96 \cdot 0.2

$7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + 73.96 \cdot 0.2$

解题步骤 7.1.20

将

73.96

$73.96$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + 14.792

$7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + 14.792$

7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + 14.792

$7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + 14.792$

解题步骤 7.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 7.2.1

将

7.744

$7.744$ 和

0.016

$0.016$ 相加。

7.76 + 1.352 + 1.936 + 14.792

$7.76 + 1.352 + 1.936 + 14.792$

解题步骤 7.2.2

将

7.76

$7.76$ 和

1.352

$1.352$ 相加。

9.112 + 1.936 + 14.792

$9.112 + 1.936 + 14.792$

解题步骤 7.2.3

将

9.112

$9.112$ 和

1.936

$1.936$ 相加。

11.048 + 14.792

$11.048 + 14.792$

解题步骤 7.2.4

将

11.048

$11.048$ 和

14.792

$14.792$ 相加。

25.84

$25.84$

25.84

$25.84$

25.84

$25.84$

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