有限数学示例

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 4 & 0.4 \\ 7 & 0.2 \\ 9 & 0.1 \\ 11 & 0.1 \\ 13 & 0.1 \\ 17 & 0.1 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 4 & 0.4 \\ 7 & 0.2 \\ 9 & 0.1 \\ 11 & 0.1 \\ 13 & 0.1 \\ 17 & 0.1 \end{array}$

解题步骤 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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解题步骤 1.1

取自独立值集合（例如

0

$0$ 、

1

$1$ 、

2

$2$ ……）的离散随机变量

x

$x$ 。其概率分布将概率

x

$x$ 赋值给每一个可能值

P (x)

$P (x)$ 。对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，且所有可能

x

$x$ 值的概率之和等于

1

$1$ 。

1. 对每一个

x

$x$ ，

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ 。

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

解题步骤 1.2

0.4

$0.4$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.4

$0.4$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.3

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.4

0.1

$0.1$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.1

$0.1$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.5

对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

解题步骤 1.6

求所有可能

x

$x$ 值的概率之和。

0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1

$0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1$

解题步骤 1.7

所有可能

x

$x$ 值的概率之和为

0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1$ 。

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解题步骤 1.7.1

将

0.4

$0.4$ 和

0.2

$0.2$ 相加。

0.6 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1

$0.6 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1$

解题步骤 1.7.2

将

0.6

$0.6$ 和

0.1

$0.1$ 相加。

0.7 + 0.1 + 0.1 + 0.1

$0.7 + 0.1 + 0.1 + 0.1$

解题步骤 1.7.3

将

0.7

$0.7$ 和

0.1

$0.1$ 相加。

0.8 + 0.1 + 0.1

$0.8 + 0.1 + 0.1$

解题步骤 1.7.4

将

0.8

$0.8$ 和

0.1

$0.1$ 相加。

0.9 + 0.1

$0.9 + 0.1$

解题步骤 1.7.5

将

0.9

$0.9$ 和

0.1

$0.1$ 相加。

1

$1$

1

$1$

解题步骤 1.8

对于每一个

x

$x$ ，

P (x)

$P (x)$ 的概率都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间内。此外，所有可能的

x

$x$ 的概率之和等于

1

$1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1

$0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1$

解题步骤 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

4 \cdot 0.4 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1

$4 \cdot 0.4 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

将

4

$4$ 乘以

0.4

$0.4$ 。

1.6 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1

$1.6 + 7 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

解题步骤 3.2

将

7

$7$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

1.6 + 1.4 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1

$1.6 + 1.4 + 9 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

解题步骤 3.3

将

9

$9$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

1.6 + 1.4 + 0.9 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

解题步骤 3.4

将

11

$11$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 13 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.1$

解题步骤 3.5

将

13

$13$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 17 \cdot 0.1

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 17 \cdot 0.1$

解题步骤 3.6

将

17

$17$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7

$1.6 + 1.4 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

解题步骤 4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1

将

1.6

$1.6$ 和

1.4

$1.4$ 相加。

3 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7

$3 + 0.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

解题步骤 4.2

将

3

$3$ 和

0.9

$0.9$ 相加。

3.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7

$3.9 + 1.1 + 1.3 + 1.7$

解题步骤 4.3

将

3.9

$3.9$ 和

1.1

$1.1$ 相加。

5 + 1.3 + 1.7

$5 + 1.3 + 1.7$

解题步骤 4.4

将

5

$5$ 和

1.3

$1.3$ 相加。

6.3 + 1.7

$6.3 + 1.7$

解题步骤 4.5

将

6.3

$6.3$ 和

1.7

$1.7$ 相加。

8

$8$

8

$8$

解题步骤 5

分布的标准差是对离差的量度并且等于方差的平方根。

s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

解题步骤 6

填入已知值。

\sqrt{{(4 - (8))}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{{(4 - (8))}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

8

$8$ 。

\sqrt{{(4 - 8)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{{(4 - 8)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.2

从

4

$4$ 中减去

8

$8$ 。

\sqrt{{(- 4)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{{(- 4)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.3

对

- 4

$- 4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{16 \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{16 \cdot 0.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.4

将

16

$16$ 乘以

0.4

$0.4$ 。

\sqrt{6.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + {(7 - (8))}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.5

将

- 1

$- 1$ 乘以

8

$8$ 。

\sqrt{6.4 + {(7 - 8)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + {(7 - 8)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.6

从

7

$7$ 中减去

8

$8$ 。

\sqrt{6.4 + {(- 1)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + {(- 1)}^{2} \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.7

对

- 1

$- 1$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{6.4 + 1 \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 1 \cdot 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.8

将

0.2

$0.2$ 乘以

1

$1$ 。

\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.9

将

- 1

$- 1$ 乘以

8

$8$ 。

\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + {(9 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.10

从

9

$9$ 中减去

8

$8$ 。

\sqrt{6.4 + 0.2 + 1^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 1^{2} \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.11

一的任意次幂都为一。

\sqrt{6.4 + 0.2 + 1 \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 1 \cdot 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.12

将

0.1

$0.1$ 乘以

1

$1$ 。

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.13

将

- 1

$- 1$ 乘以

8

$8$ 。

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + {(11 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.14

从

11

$11$ 中减去

8

$8$ 。

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 3^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 3^{2} \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.15

对

3

$3$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 9 \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 9 \cdot 0.1 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.16

将

9

$9$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - (8))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.17

将

- 1

$- 1$ 乘以

8

$8$ 。

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + {(13 - 8)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.18

从

13

$13$ 中减去

8

$8$ 。

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 5^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 5^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.19

对

5

$5$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 25 \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 25 \cdot 0.1 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.20

将

25

$25$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - (8))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.21

将

- 1

$- 1$ 乘以

8

$8$ 。

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - 8)}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + {(17 - 8)}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.22

从

17

$17$ 中减去

8

$8$ 。

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 9^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 9^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.23

对

9

$9$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 81 \cdot 0.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 81 \cdot 0.1}$

解题步骤 7.24

将

81

$81$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}

$\sqrt{6.4 + 0.2 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}$

解题步骤 7.25

将

6.4

$6.4$ 和

0.2

$0.2$ 相加。

\sqrt{6.6 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}

$\sqrt{6.6 + 0.1 + 0.9 + 2.5 + 8.1}$

解题步骤 7.26

将

6.6

$6.6$ 和

0.1

$0.1$ 相加。

\sqrt{6.7 + 0.9 + 2.5 + 8.1}

$\sqrt{6.7 + 0.9 + 2.5 + 8.1}$

解题步骤 7.27

将

6.7

$6.7$ 和

0.9

$0.9$ 相加。

\sqrt{7.6 + 2.5 + 8.1}

$\sqrt{7.6 + 2.5 + 8.1}$

解题步骤 7.28

将

7.6

$7.6$ 和

2.5

$2.5$ 相加。

\sqrt{10.1 + 8.1}

$\sqrt{10.1 + 8.1}$

解题步骤 7.29

将

10.1

$10.1$ 和

8.1

$8.1$ 相加。

\sqrt{18.2}

$\sqrt{18.2}$

\sqrt{18.2}

$\sqrt{18.2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

\sqrt{18.2}

$\sqrt{18.2}$

小数形式：

4.26614580 \dots

$4.26614580 \dots$

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有限数学 示例

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