有限数学示例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 5 & 0.1 \\ 8 & 0.2 \\ 1 & 0.1 \\ 14 & 0.2 \end{array}$

解题步骤 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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解题步骤 1.1

取自独立值集合（例如 $0$ 、 $1$ 、 $2$ ……）的离散随机变量 $x$ 。其概率分布将概率 $x$ 赋值给每一个可能值 $P (x)$ 。对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，且所有可能 $x$ 值的概率之和等于 $1$ 。

1. 对每一个 $x$ ， $0 \leq P (x) \leq 1$ 。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

解题步骤 1.2

$0.4$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.4$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.3

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.4

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.5

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.1$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.6

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

$0.2$ 介于 $0$ （含）和 $1$ （含）之间

解题步骤 1.7

对于每一个 $x$ ，概率 $P (x)$ 都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的 $0 \leq P (x) \leq 1$

解题步骤 1.8

求所有可能 $x$ 值的概率之和。

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2$

解题步骤 1.9

所有可能 $x$ 值的概率之和为 $0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$ 。

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解题步骤 1.9.1

将 $0.4$ 和 $0.1$ 相加。

$0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.2$

解题步骤 1.9.2

将 $0.5$ 和 $0.2$ 相加。

$0.7 + 0.1 + 0.2$

解题步骤 1.9.3

将 $0.7$ 和 $0.1$ 相加。

$0.8 + 0.2$

解题步骤 1.9.4

将 $0.8$ 和 $0.2$ 相加。

$1$

解题步骤 1.10

对于每一个 $x$ ， $P (x)$ 的概率都介于 $0$ 和 $1$ 的闭区间内。此外，所有可能的 $x$ 的概率之和等于 $1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有 $x$ 值满足 $0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2： $0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$

解题步骤 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

$1 \cdot 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

将 $0.4$ 乘以 $1$ 。

$0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

解题步骤 3.2

将 $5$ 乘以 $0.1$ 。

$0.4 + 0.5 + 8 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

解题步骤 3.3

将 $8$ 乘以 $0.2$ 。

$0.4 + 0.5 + 1.6 + 1 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

解题步骤 3.4

将 $0.1$ 乘以 $1$ 。

$0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 14 \cdot 0.2$

解题步骤 3.5

将 $14$ 乘以 $0.2$ 。

$0.4 + 0.5 + 1.6 + 0.1 + 2.8$

解题步骤 4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1

将 $0.4$ 和 $0.5$ 相加。

$0.9 + 1.6 + 0.1 + 2.8$

解题步骤 4.2

将 $0.9$ 和 $1.6$ 相加。

$2.5 + 0.1 + 2.8$

解题步骤 4.3

将 $2.5$ 和 $0.1$ 相加。

$2.6 + 2.8$

解题步骤 4.4

将 $2.6$ 和 $2.8$ 相加。

$5.4$

解题步骤 5

分布的标准差是对离差的量度并且等于方差的平方根。

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

解题步骤 6

填入已知值。

$\sqrt{{(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $5.4$ 。

$\sqrt{{(1 - 5.4)}^{2} \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $5.4$ 。

$\sqrt{{(- 4.4)}^{2} \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.3

对 $- 4.4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{19.36 \cdot 0.4 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.4

将 $19.36$ 乘以 $0.4$ 。

$\sqrt{7.744 + {(5 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.5

将 $- 1$ 乘以 $5.4$ 。

$\sqrt{7.744 + {(5 - 5.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.6

从 $5$ 中减去 $5.4$ 。

$\sqrt{7.744 + {(- 0.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.7

对 $- 0.4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{7.744 + 0.16 \cdot 0.1 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.8

将 $0.16$ 乘以 $0.1$ 。

$\sqrt{7.744 + 0.016 + {(8 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.9

将 $- 1$ 乘以 $5.4$ 。

$\sqrt{7.744 + 0.016 + {(8 - 5.4)}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.10

从 $8$ 中减去 $5.4$ 。

$\sqrt{7.744 + 0.016 + {2.6}^{2} \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.11

对 $2.6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{7.744 + 0.016 + 6.76 \cdot 0.2 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.12

将 $6.76$ 乘以 $0.2$ 。

$\sqrt{7.744 + 0.016 + 1.352 + {(1 - (5.4))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.13

将 $- 1$ 乘以 $5.4$ 。

$\sqrt{7.744 + 0.016 + 1.352 + {(1 - 5.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.14

从 $1$ 中减去 $5.4$ 。

$\sqrt{7.744 + 0.016 + 1.352 + {(- 4.4)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.15

对 $- 4.4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{7.744 + 0.016 + 1.352 + 19.36 \cdot 0.1 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.16

将 $19.36$ 乘以 $0.1$ 。

$\sqrt{7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + {(14 - (5.4))}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.17

将 $- 1$ 乘以 $5.4$ 。

$\sqrt{7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + {(14 - 5.4)}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.18

从 $14$ 中减去 $5.4$ 。

$\sqrt{7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + {8.6}^{2} \cdot 0.2}$

解题步骤 7.19

对 $8.6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + 73.96 \cdot 0.2}$

解题步骤 7.20

将 $73.96$ 乘以 $0.2$ 。

$\sqrt{7.744 + 0.016 + 1.352 + 1.936 + 14.792}$

解题步骤 7.21

将 $7.744$ 和 $0.016$ 相加。

$\sqrt{7.76 + 1.352 + 1.936 + 14.792}$

解题步骤 7.22

将 $7.76$ 和 $1.352$ 相加。

$\sqrt{9.112 + 1.936 + 14.792}$

解题步骤 7.23

将 $9.112$ 和 $1.936$ 相加。

$\sqrt{11.048 + 14.792}$

解题步骤 7.24

将 $11.048$ 和 $14.792$ 相加。

$\sqrt{25.84}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{25.84}$

小数形式：

$5.08330601 \dots$

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