有限数学示例

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.4 \\ 7 & 0.3 \\ 9 & 0.2 \\ 10 & 0.1 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 3 & 0.4 \\ 7 & 0.3 \\ 9 & 0.2 \\ 10 & 0.1 \end{array}$

解题步骤 1

证明给定的表格满足概率分布的两个性质。

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解题步骤 1.1

取自独立值集合（例如

0

$0$ 、

1

$1$ 、

2

$2$ ……）的离散随机变量

x

$x$ 。其概率分布将概率

x

$x$ 赋值给每一个可能值

P (x)

$P (x)$ 。对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，且所有可能

x

$x$ 值的概率之和等于

1

$1$ 。

1. 对每一个

x

$x$ ，

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ 。

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

解题步骤 1.2

0.4

$0.4$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.4

$0.4$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.3

0.3

$0.3$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.3

$0.3$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.4

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.2

$0.2$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.5

0.1

$0.1$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间，符合概率分布的第一个性质。

0.1

$0.1$ 介于

0

$0$ （含）和

1

$1$ （含）之间

解题步骤 1.6

对于每一个

x

$x$ ，概率

P (x)

$P (x)$ 都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间之内，这满足了概率分布的第一条性质。

对所有 x 值的

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

解题步骤 1.7

求所有可能

x

$x$ 值的概率之和。

0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1

$0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1$

解题步骤 1.8

所有可能

x

$x$ 值的概率之和为

0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1

$0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1$ 。

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解题步骤 1.8.1

将

0.4

$0.4$ 和

0.3

$0.3$ 相加。

0.7 + 0.2 + 0.1

$0.7 + 0.2 + 0.1$

解题步骤 1.8.2

将

0.7

$0.7$ 和

0.2

$0.2$ 相加。

0.9 + 0.1

$0.9 + 0.1$

解题步骤 1.8.3

将

0.9

$0.9$ 和

0.1

$0.1$ 相加。

1

$1$

1

$1$

解题步骤 1.9

对于每一个

x

$x$ ，

P (x)

$P (x)$ 的概率都介于

0

$0$ 和

1

$1$ 的闭区间内。此外，所有可能的

x

$x$ 的概率之和等于

1

$1$ ，这表示该表满足概率分布的两条性质。

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1

$0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1$

该表满足概率分布的两个性质：

性质 1：对所有

x

$x$ 值满足

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$

性质 2：

0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1

$0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1$

解题步骤 2

如果分布的试验可以无限地继续下去，那么该分布的平均期望值为期望值。这等于每一个值乘以其离散概率。

3 \cdot 0.4 + 7 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1

$3 \cdot 0.4 + 7 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

将

3

$3$ 乘以

0.4

$0.4$ 。

1.2 + 7 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1

$1.2 + 7 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1$

解题步骤 3.2

将

7

$7$ 乘以

0.3

$0.3$ 。

1.2 + 2.1 + 9 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1

$1.2 + 2.1 + 9 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1$

解题步骤 3.3

将

9

$9$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

1.2 + 2.1 + 1.8 + 10 \cdot 0.1

$1.2 + 2.1 + 1.8 + 10 \cdot 0.1$

解题步骤 3.4

将

10

$10$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

1.2 + 2.1 + 1.8 + 1

$1.2 + 2.1 + 1.8 + 1$

1.2 + 2.1 + 1.8 + 1

$1.2 + 2.1 + 1.8 + 1$

解题步骤 4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1

将

1.2

$1.2$ 和

2.1

$2.1$ 相加。

3.3 + 1.8 + 1

$3.3 + 1.8 + 1$

解题步骤 4.2

将

3.3

$3.3$ 和

1.8

$1.8$ 相加。

5.1 + 1

$5.1 + 1$

解题步骤 4.3

将

5.1

$5.1$ 和

1

$1$ 相加。

6.1

$6.1$

6.1

$6.1$

解题步骤 5

分布的标准差是对离差的量度并且等于方差的平方根。

s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

解题步骤 6

填入已知值。

\sqrt{{(3 - (6.1))}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{{(3 - (6.1))}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

6.1

$6.1$ 。

\sqrt{{(3 - 6.1)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{{(3 - 6.1)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.2

从

3

$3$ 中减去

6.1

$6.1$ 。

\sqrt{{(- 3.1)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{{(- 3.1)}^{2} \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.3

对

- 3.1

$- 3.1$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{9.61 \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{9.61 \cdot 0.4 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.4

将

9.61

$9.61$ 乘以

0.4

$0.4$ 。

\sqrt{3.844 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{3.844 + {(7 - (6.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.5

将

- 1

$- 1$ 乘以

6.1

$6.1$ 。

\sqrt{3.844 + {(7 - 6.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{3.844 + {(7 - 6.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.6

从

7

$7$ 中减去

6.1

$6.1$ 。

\sqrt{3.844 + {0.9}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{3.844 + {0.9}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.7

对

0.9

$0.9$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{3.844 + 0.81 \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{3.844 + 0.81 \cdot 0.3 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.8

将

0.81

$0.81$ 乘以

0.3

$0.3$ 。

\sqrt{3.844 + 0.243 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{3.844 + 0.243 + {(9 - (6.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.9

将

- 1

$- 1$ 乘以

6.1

$6.1$ 。

\sqrt{3.844 + 0.243 + {(9 - 6.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{3.844 + 0.243 + {(9 - 6.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.10

从

9

$9$ 中减去

6.1

$6.1$ 。

\sqrt{3.844 + 0.243 + {2.9}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{3.844 + 0.243 + {2.9}^{2} \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.11

对

2.9

$2.9$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{3.844 + 0.243 + 8.41 \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 8.41 \cdot 0.2 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.12

将

8.41

$8.41$ 乘以

0.2

$0.2$ 。

\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + {(10 - (6.1))}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.13

将

- 1

$- 1$ 乘以

6.1

$6.1$ 。

\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + {(10 - 6.1)}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + {(10 - 6.1)}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.14

从

10

$10$ 中减去

6.1

$6.1$ 。

\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + {3.9}^{2} \cdot 0.1}

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + {3.9}^{2} \cdot 0.1}$

解题步骤 7.15

对

3.9

$3.9$ 进行

2

$2$ 次方运算。

\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + 15.21 \cdot 0.1}

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + 15.21 \cdot 0.1}$

解题步骤 7.16

将

15.21

$15.21$ 乘以

0.1

$0.1$ 。

\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + 1.521}

$\sqrt{3.844 + 0.243 + 1.682 + 1.521}$

解题步骤 7.17

将

3.844

$3.844$ 和

0.243

$0.243$ 相加。

\sqrt{4.087 + 1.682 + 1.521}

$\sqrt{4.087 + 1.682 + 1.521}$

解题步骤 7.18

将

4.087

$4.087$ 和

1.682

$1.682$ 相加。

\sqrt{5.769 + 1.521}

$\sqrt{5.769 + 1.521}$

解题步骤 7.19

将

5.769

$5.769$ 和

1.521

$1.521$ 相加。

\sqrt{7.29}

$\sqrt{7.29}$

解题步骤 7.20

将

7.29

$7.29$ 重写为

{2.7}^{2}

${2.7}^{2}$ 。

\sqrt{{2.7}^{2}}

$\sqrt{{2.7}^{2}}$

解题步骤 7.21

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

2.7

$2.7$

2.7

$2.7$

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