有限数学示例

$x < 3$ , $n = 3$ , $p = 0.4$

解题步骤 1

从 $1$ 中减去 $0.4$ 。

$0.6$

解题步骤 2

当成功次数的值 $x$ 以区间形式给出时， $x$ 的概率为介于 $0$ 和 $n$ 之间的所有可能 $x$ 值的概率之和。在本例中，即 $p (x < 3) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2)$ 。

$p (x < 3) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2)$

解题步骤 3

求 $p (0)$ 的概率。

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解题步骤 3.1

使用二项分布概率公式来求解此问题。

$p (x) = {}_{3}C_{0} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

解题步骤 3.2

求 ${}_{3}C_{0}$ 的值。

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解题步骤 3.2.1

求从 $n$ 个可选项中选择 $r$ 项时可能的无序组合的数量。

${}_{3}C_{0} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

解题步骤 3.2.2

填入已知值。

$\frac{(3)!}{(0)! (3 - 0)!}$

解题步骤 3.2.3

化简。

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解题步骤 3.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.2.3.1.1

将 $(3)!$ 展开为 $3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(0)! (3 - 0)!}$

解题步骤 3.2.3.1.2

乘以 $3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.2.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 \cdot 1}{(0)! (3 - 0)!}$

解题步骤 3.2.3.1.2.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{(0)! (3 - 0)!}$

解题步骤 3.2.3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.3.2.1

将 $(0)!$ 展开为 $1$ 。

$\frac{6}{1 (3 - 0)!}$

解题步骤 3.2.3.2.2

从 $3$ 中减去 $0$ 。

$\frac{6}{1 (3)!}$

解题步骤 3.2.3.2.3

将 $(3)!$ 展开为 $3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

$\frac{6}{1 (3 \cdot 2 \cdot 1)}$

解题步骤 3.2.3.2.4

乘以 $3 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.2.3.2.4.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{1 (6 \cdot 1)}$

解题步骤 3.2.3.2.4.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{1 \cdot 6}$

解题步骤 3.2.3.2.5

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6}{6}$

解题步骤 3.2.3.3

用 $6$ 除以 $6$ 。

$1$

解题步骤 3.3

把已知值填入方程。

$1 \cdot {(0.4)}^{0} \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

解题步骤 3.4

化简结果。

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解题步骤 3.4.1

将 ${(0.4)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

${(0.4)}^{0} \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

解题步骤 3.4.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

解题步骤 3.4.3

将 ${(1 - 0.4)}^{3 - 0}$ 乘以 $1$ 。

${(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

解题步骤 3.4.4

从 $1$ 中减去 $0.4$ 。

${0.6}^{3 - 0}$

解题步骤 3.4.5

从 $3$ 中减去 $0$ 。

${0.6}^{3}$

解题步骤 3.4.6

对 $0.6$ 进行 $3$ 次方运算。

$0.216$

解题步骤 4

求 $p (1)$ 的概率。

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解题步骤 4.1

使用二项分布概率公式来求解此问题。

$p (x) = {}_{3}C_{1} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

解题步骤 4.2

求 ${}_{3}C_{1}$ 的值。

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解题步骤 4.2.1

求从 $n$ 个可选项中选择 $r$ 项时可能的无序组合的数量。

${}_{3}C_{1} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

解题步骤 4.2.2

填入已知值。

$\frac{(3)!}{(1)! (3 - 1)!}$

解题步骤 4.2.3

化简。

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解题步骤 4.2.3.1

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{(3)!}{(1)! (2)!}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $(3)!$ 重写为 $3 \cdot 2!$ 。

$\frac{3 \cdot 2!}{(1)! (2)!}$

解题步骤 4.2.3.3

约去 $2!$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2!}{(1)! (2)!}$

解题步骤 4.2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{3}{(1)!}$

解题步骤 4.2.3.4

将 $(1)!$ 展开为 $1$ 。

$\frac{3}{1}$

解题步骤 4.2.3.5

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3$

解题步骤 4.3

把已知值填入方程。

$3 \cdot (0.4) \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 1}$

解题步骤 4.4

化简结果。

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解题步骤 4.4.1

计算指数。

$3 \cdot 0.4 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 1}$

解题步骤 4.4.2

将 $3$ 乘以 $0.4$ 。

$1.2 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 1}$

解题步骤 4.4.3

从 $1$ 中减去 $0.4$ 。

$1.2 \cdot {0.6}^{3 - 1}$

解题步骤 4.4.4

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$1.2 \cdot {0.6}^{2}$

解题步骤 4.4.5

对 $0.6$ 进行 $2$ 次方运算。

$1.2 \cdot 0.36$

解题步骤 4.4.6

将 $1.2$ 乘以 $0.36$ 。

$0.432$

解题步骤 5

求 $p (2)$ 的概率。

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解题步骤 5.1

使用二项分布概率公式来求解此问题。

$p (x) = {}_{3}C_{2} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

解题步骤 5.2

求 ${}_{3}C_{2}$ 的值。

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解题步骤 5.2.1

求从 $n$ 个可选项中选择 $r$ 项时可能的无序组合的数量。

${}_{3}C_{2} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

解题步骤 5.2.2

填入已知值。

$\frac{(3)!}{(2)! (3 - 2)!}$

解题步骤 5.2.3

化简。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(3)!}{(2)! (1)!}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $(3)!$ 重写为 $3 \cdot 2!$ 。

$\frac{3 \cdot 2!}{(2)! (1)!}$

解题步骤 5.2.3.3

约去 $2!$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2!}{(2)! (1)!}$

解题步骤 5.2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{3}{(1)!}$

解题步骤 5.2.3.4

将 $(1)!$ 展开为 $1$ 。

$\frac{3}{1}$

解题步骤 5.2.3.5

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3$

解题步骤 5.3

把已知值填入方程。

$3 \cdot {(0.4)}^{2} \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 2}$

解题步骤 5.4

化简结果。

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解题步骤 5.4.1

对 $0.4$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \cdot 0.16 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 2}$

解题步骤 5.4.2

将 $3$ 乘以 $0.16$ 。

$0.48 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 2}$

解题步骤 5.4.3

从 $1$ 中减去 $0.4$ 。

$0.48 \cdot {0.6}^{3 - 2}$

解题步骤 5.4.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$0.48 \cdot {0.6}^{1}$

解题步骤 5.4.5

计算指数。

$0.48 \cdot 0.6$

解题步骤 5.4.6

将 $0.48$ 乘以 $0.6$ 。

$0.288$

解题步骤 6

概率 $P (x < 3)$ 为在 $0$ 和 $n$ 之间所有 $x$ 可能值的概率之和。 $P (x < 3) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) = 0.216 + 0.432 + 0.288 = 0.936$ 。

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解题步骤 6.1

将 $0.216$ 和 $0.432$ 相加。

$p (x < 3) = 0.648 + 0.288$

解题步骤 6.2

将 $0.648$ 和 $0.288$ 相加。

$p (x < 3) = 0.936$

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