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有限数学示例

$\frac{x^{3} - x^{2} + 7 x}{x - 5}$

解题步骤 1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

-

$5$

$x^{3}$

-

$x^{2}$

+

$7 x$

+

$0$

解题步骤 2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$

解题步骤 3

将新的商式项乘以除数。

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
				+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

解题步骤 4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 5 x^{2}$ 中的所有符号

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
				-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

解题步骤 5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
				-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
						+	$4 x^{2}$

解题步骤 6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
				-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
						+	$4 x^{2}$	+	$7 x$

解题步骤 7

将被除数中的最高阶项 $4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$	+	$4 x$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
				-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
						+	$4 x^{2}$	+	$7 x$

解题步骤 8

将新的商式项乘以除数。

					$x^{2}$	+	$4 x$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
				-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
						+	$4 x^{2}$	+	$7 x$
						+	$4 x^{2}$	-	$20 x$

解题步骤 9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{2} - 20 x$ 中的所有符号

					$x^{2}$	+	$4 x$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
				-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
						+	$4 x^{2}$	+	$7 x$
						-	$4 x^{2}$	+	$20 x$

解题步骤 10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x^{2}$	+	$4 x$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
				-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
						+	$4 x^{2}$	+	$7 x$
						-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
								+	$27 x$

解题步骤 11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$x^{2}$	+	$4 x$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
				-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
						+	$4 x^{2}$	+	$7 x$
						-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
								+	$27 x$	+	$0$

解题步骤 12

将被除数中的最高阶项 $27 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$	+	$4 x$	+	$27$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
				-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
						+	$4 x^{2}$	+	$7 x$
						-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
								+	$27 x$	+	$0$

解题步骤 13

将新的商式项乘以除数。

					$x^{2}$	+	$4 x$	+	$27$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
				-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
						+	$4 x^{2}$	+	$7 x$
						-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
								+	$27 x$	+	$0$
								+	$27 x$	-	$135$

解题步骤 14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $27 x - 135$ 中的所有符号

					$x^{2}$	+	$4 x$	+	$27$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
				-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
						+	$4 x^{2}$	+	$7 x$
						-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
								+	$27 x$	+	$0$
								-	$27 x$	+	$135$

解题步骤 15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x^{2}$	+	$4 x$	+	$27$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
				-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
						+	$4 x^{2}$	+	$7 x$
						-	$4 x^{2}$	+	$20 x$
								+	$27 x$	+	$0$
								-	$27 x$	+	$135$
										+	$135$

解题步骤 16

最终答案为商加上余数除以除数。

$x^{2} + 4 x + 27 + \frac{135}{x - 5}$

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$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$