有限数学示例

f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 6

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 6$

解题步骤 1

二次函数最小值出现在

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ 。如果

a

$a$ 是正数，则函数的最小值是

f (- \frac{b}{2 a})

$f (- \frac{b}{2 a})$ 。

$f_{最小值}$

$x = a x^{2} + b x + c$ 在

$x = - \frac{b}{2 a}$ 出现

解题步骤 2

求

$x = - \frac{b}{2 a}$ 的值。

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解题步骤 2.1

代入

$a$ 和

$b$ 的值。

$x = - \frac{5}{2 (2)}$

解题步骤 2.2

去掉圆括号。

$x = - \frac{5}{2 (2)}$

解题步骤 2.3

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$x = - \frac{5}{4}$

解题步骤 3

计算

$f (- \frac{5}{4})$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的

$- \frac{5}{4}$ 替换变量

$x$ 。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

使用幂法则

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

对

$- \frac{5}{4}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

解题步骤 3.2.1.1.2

对

$\frac{5}{4}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

解题步骤 3.2.1.2

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

解题步骤 3.2.1.3

将

$\frac{5^{2}}{4^{2}}$ 乘以

$1$ 。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

解题步骤 3.2.1.4

对

$5$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

解题步骤 3.2.1.5

对

$4$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{16}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

解题步骤 3.2.1.6

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.6.1

从

$16$ 中分解出因数

$2$ 。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 (8)}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

解题步骤 3.2.1.6.2

约去公因数。

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 \cdot 8}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

解题步骤 3.2.1.6.3

重写表达式。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

解题步骤 3.2.1.7

乘以

$5 (- \frac{5}{4})$ 。

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解题步骤 3.2.1.7.1

将

$- 1$ 乘以

$5$ 。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - 5 (\frac{5}{4}) - 6$

解题步骤 3.2.1.7.2

组合

$- 5$ 和

$\frac{5}{4}$ 。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 5 \cdot 5}{4} - 6$

解题步骤 3.2.1.7.3

将

$- 5$ 乘以

$5$ 。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 25}{4} - 6$

解题步骤 3.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} - 6$

解题步骤 3.2.2

求公分母。

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解题步骤 3.2.2.1

将

$\frac{25}{4}$ 乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - (\frac{25}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 6$

解题步骤 3.2.2.2

将

$\frac{25}{4}$ 乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 6$

解题步骤 3.2.2.3

将

$- 6$ 写成分母为

$1$ 的分数。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1}$

解题步骤 3.2.2.4

将

$\frac{- 6}{1}$ 乘以

$\frac{8}{8}$ 。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 3.2.2.5

将

$\frac{- 6}{1}$ 乘以

$\frac{8}{8}$ 。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 3.2.2.6

重新排序

$4 \cdot 2$ 的因式。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 3.2.2.7

将

$2$ 乘以

$4$ 。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 3.2.4.1

将

$- 25$ 乘以

$2$ 。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 6 \cdot 8}{8}$

解题步骤 3.2.4.2

将

$- 6$ 乘以

$8$ 。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 48}{8}$

解题步骤 3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 3.2.5.1

从

$25$ 中减去

$50$ 。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 25 - 48}{8}$

解题步骤 3.2.5.2

从

$- 25$ 中减去

$48$ 。

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 73}{8}$

解题步骤 3.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{5}{4}) = - \frac{73}{8}$

解题步骤 3.2.6

最终答案为

$- \frac{73}{8}$ 。

$- \frac{73}{8}$

解题步骤 4

使用

$x$ 和

$y$ 的值求最小值出现的位置。

$(- \frac{5}{4}, - \frac{73}{8})$

解题步骤 5

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