有限数学示例

$\begin{array}{c} 组 & 频率 \\ 12 - 14 & 4 \\ 15 - 17 & 5 \\ 19 - 21 & 9 \\ 22 - 24 & 2 \end{array}$

解题步骤 1

求每一组的中点

$M$ 。

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解题步骤 1.1

每组的下限为该组的最小值。另外，每组的上限为该组的最大值。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 12 - 14 & 4 & 12 & 14 \\ 15 - 17 & 5 & 15 & 17 \\ 19 - 21 & 9 & 19 & 21 \\ 22 - 24 & 2 & 22 & 24 \end{array}$

解题步骤 1.2

组中点为组下限加组上限除以

$2$ 。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 12 - 14 & 4 & 12 & 14 & \frac{12 + 14}{2} \\ 15 - 17 & 5 & 15 & 17 & \frac{15 + 17}{2} \\ 19 - 21 & 9 & 19 & 21 & \frac{19 + 21}{2} \\ 22 - 24 & 2 & 22 & 24 & \frac{22 + 24}{2} \end{array}$

解题步骤 1.3

化简所有中点列。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 12 - 14 & 4 & 12 & 14 & 13 \\ 15 - 17 & 5 & 15 & 17 & 16 \\ 19 - 21 & 9 & 19 & 21 & 20 \\ 22 - 24 & 2 & 22 & 24 & 23 \end{array}$

解题步骤 1.4

在原始表格中增加一列，列出中值。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 12 - 14 & 4 & 13 \\ 15 - 17 & 5 & 16 \\ 19 - 21 & 9 & 20 \\ 22 - 24 & 2 & 23 \end{array}$

解题步骤 2

计算各组中点的平方

$M^{2}$ 。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 12 - 14 & 4 & 13 & 13^{2} \\ 15 - 17 & 5 & 16 & 16^{2} \\ 19 - 21 & 9 & 20 & 20^{2} \\ 22 - 24 & 2 & 23 & 23^{2} \end{array}$

解题步骤 3

化简

$M^{2}$ 列。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 12 - 14 & 4 & 13 & 169 \\ 15 - 17 & 5 & 16 & 256 \\ 19 - 21 & 9 & 20 & 400 \\ 22 - 24 & 2 & 23 & 529 \end{array}$

解题步骤 4

将每一中点的平方乘以其频率

$f$ 。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 12 - 14 & 4 & 13 & 169 & 4 \cdot 169 \\ 15 - 17 & 5 & 16 & 256 & 5 \cdot 256 \\ 19 - 21 & 9 & 20 & 400 & 9 \cdot 400 \\ 22 - 24 & 2 & 23 & 529 & 2 \cdot 529 \end{array}$

解题步骤 5

化简

$f \cdot M^{2}$ 列。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 12 - 14 & 4 & 13 & 169 & 676 \\ 15 - 17 & 5 & 16 & 256 & 1280 \\ 19 - 21 & 9 & 20 & 400 & 3600 \\ 22 - 24 & 2 & 23 & 529 & 1058 \end{array}$

解题步骤 6

求所有频率的和。在本例中，所有频率的和为

$n = 4, 5, 9, 2 = 20$ 。

$\sum_{}^{} f = n = 20$

解题步骤 7

求

$f \cdot M^{2}$ 列的和。在本例中，即

$676 + 1280 + 3600 + 1058 = 6614$ 。

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 6614$

解题步骤 8

求平均值

$μ$ 。

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解题步骤 8.1

求每一组的中点

$M$ 。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 12 - 14 & 4 & 13 \\ 15 - 17 & 5 & 16 \\ 19 - 21 & 9 & 20 \\ 22 - 24 & 2 & 23 \end{array}$

解题步骤 8.2

将每组频率乘以组中值。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 12 - 14 & 4 & 13 & 4 \cdot 13 \\ 15 - 17 & 5 & 16 & 5 \cdot 16 \\ 19 - 21 & 9 & 20 & 9 \cdot 20 \\ 22 - 24 & 2 & 23 & 2 \cdot 23 \end{array}$

解题步骤 8.3

化简

$f \cdot M$ 列。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 12 - 14 & 4 & 13 & 52 \\ 15 - 17 & 5 & 16 & 80 \\ 19 - 21 & 9 & 20 & 180 \\ 22 - 24 & 2 & 23 & 46 \end{array}$

解题步骤 8.4

将

$f \cdot M$ 列中的值相加。

$52 + 80 + 180 + 46 = 358$

解题步骤 8.5

将频率列中的值相加。

$n = 4 + 5 + 9 + 2 = 20$

解题步骤 8.6

均值 (mu) 为

$f \cdot M$ 的和除以

$n$ ，即为频率的和。

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

解题步骤 8.7

平均值是中点和频率的乘积之和除以频率总和。

$μ = \frac{358}{20}$

解题步骤 8.8

化简

$μ = \frac{358}{20}$ 的右边。

$17.9$

解题步骤 9

标准差方程为

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 。

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

解题步骤 10

将计算值代入

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 。

$S^{2} = \frac{6614 - 20 {(17.9)}^{2}}{20 - 1}$

解题步骤 11

化简

$S^{2} = \frac{6614 - 20 {(17.9)}^{2}}{20 - 1}$ 的右边以得出方差

$S^{2} = 10.83157894$ 。

$10.83157894$

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