有限数学示例

$\begin{array}{c} 组 & 频率 \\ 10 - 14 & 1 \\ 15 - 19 & 3 \\ 20 - 24 & 9 \\ 25 - 29 & 2 \end{array}$

解题步骤 1

求每一组的中点

$M$ 。

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解题步骤 1.1

每组的下限为该组的最小值。另外，每组的上限为该组的最大值。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 10 - 14 & 1 & 10 & 14 \\ 15 - 19 & 3 & 15 & 19 \\ 20 - 24 & 9 & 20 & 24 \\ 25 - 29 & 2 & 25 & 29 \end{array}$

解题步骤 1.2

组中点为组下限加组上限除以

$2$ 。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 10 & 14 & \frac{10 + 14}{2} \\ 15 - 19 & 3 & 15 & 19 & \frac{15 + 19}{2} \\ 20 - 24 & 9 & 20 & 24 & \frac{20 + 24}{2} \\ 25 - 29 & 2 & 25 & 29 & \frac{25 + 29}{2} \end{array}$

解题步骤 1.3

化简所有中点列。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 10 & 14 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 15 & 19 & 17 \\ 20 - 24 & 9 & 20 & 24 & 22 \\ 25 - 29 & 2 & 25 & 29 & 27 \end{array}$

解题步骤 1.4

在原始表格中增加一列，列出中值。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 \\ 20 - 24 & 9 & 22 \\ 25 - 29 & 2 & 27 \end{array}$

解题步骤 2

计算各组中点的平方

$M^{2}$ 。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 12^{2} \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 17^{2} \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 22^{2} \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 27^{2} \end{array}$

解题步骤 3

化简

$M^{2}$ 列。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 144 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 289 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 484 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 729 \end{array}$

解题步骤 4

将每一中点的平方乘以其频率

$f$ 。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 144 & 1 \cdot 144 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 289 & 3 \cdot 289 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 484 & 9 \cdot 484 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 729 & 2 \cdot 729 \end{array}$

解题步骤 5

化简

$f \cdot M^{2}$ 列。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 144 & 144 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 289 & 867 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 484 & 4356 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 729 & 1458 \end{array}$

解题步骤 6

求所有频率的和。在本例中，所有频率的和为

$n = 1, 3, 9, 2 = 15$ 。

$\sum_{}^{} f = n = 15$

解题步骤 7

求

$f \cdot M^{2}$ 列的和。在本例中，即

$144 + 867 + 4356 + 1458 = 6825$ 。

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 6825$

解题步骤 8

求平均值

$μ$ 。

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解题步骤 8.1

求每一组的中点

$M$ 。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 10 - 14 & 1 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 \\ 20 - 24 & 9 & 22 \\ 25 - 29 & 2 & 27 \end{array}$

解题步骤 8.2

将每组频率乘以组中值。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 1 \cdot 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 3 \cdot 17 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 9 \cdot 22 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 2 \cdot 27 \end{array}$

解题步骤 8.3

化简

$f \cdot M$ 列。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 10 - 14 & 1 & 12 & 12 \\ 15 - 19 & 3 & 17 & 51 \\ 20 - 24 & 9 & 22 & 198 \\ 25 - 29 & 2 & 27 & 54 \end{array}$

解题步骤 8.4

将

$f \cdot M$ 列中的值相加。

$12 + 51 + 198 + 54 = 315$

解题步骤 8.5

将频率列中的值相加。

$n = 1 + 3 + 9 + 2 = 15$

解题步骤 8.6

均值 (mu) 为

$f \cdot M$ 的和除以

$n$ ，即为频率的和。

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

解题步骤 8.7

平均值是中点和频率的乘积之和除以频率总和。

$μ = \frac{315}{15}$

解题步骤 8.8

化简

$μ = \frac{315}{15}$ 的右边。

$21$

解题步骤 9

标准差方程为

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 。

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

解题步骤 10

将计算值代入

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 。

$S^{2} = \frac{6825 - 15 {(21)}^{2}}{15 - 1}$

解题步骤 11

化简

$S^{2} = \frac{6825 - 15 {(21)}^{2}}{15 - 1}$ 的右边以得出方差

$S^{2} = 15$ 。

$15$

解题步骤 12

标准差是方差的平方根

$15$ 。在本例中，标准差为

$3.87298334$ 。

$3.87298334$

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