示例

$x^{2} + 4 y^{2} = 1$

解题步骤 1

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.3.3

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

解题步骤 5.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.3.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.3.6

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

解题步骤 5.3.7

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

解题步骤 5.3.8

将 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 5.3.9

化简分母。

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解题步骤 5.3.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 5.3.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 + 1, 0)$

解题步骤 6.3

化简。

$(1, 0)$

解题步骤 6.4

椭圆的第二个顶点可通过让 $h$ 减去 $a$ 求出。

$(h - a, k)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 - (1), 0)$

解题步骤 6.6

化简。

$(- 1, 0)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

解题步骤 7.3

化简。

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

解题步骤 7.4

椭圆的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.5

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}), 0)$

解题步骤 7.6

化简。

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

用 $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.3.2

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.3.3

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 8.3.4

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

解题步骤 8.3.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

解题步骤 8.3.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

解题步骤 8.3.7

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

解题步骤 8.3.8

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

解题步骤 8.3.9

将 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 8.3.10

化简分母。

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解题步骤 8.3.10.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 8.3.10.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

离心率： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10

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