微积分学示例

\int \sqrt{1 - x^{2}} d x

$\int \sqrt{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 1

使

x = sin (t)

$x = \sin (t)$ ，其中

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使

d x = cos (t) d t

$d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以

cos (t)

$\cos (t)$ 为正数。

\int \sqrt{1 - {sin}^{2} (t)} cos (t) d t

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

化简

\sqrt{1 - {sin}^{2} (t)}

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

使用勾股恒等式。

\int \sqrt{{cos}^{2} (t)} cos (t) d t

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

\int cos (t) cos (t) d t

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

\int cos (t) cos (t) d t

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

解题步骤 2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

对

cos (t)

$\cos (t)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\int {cos}^{1} (t) cos (t) d t

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

解题步骤 2.2.2

对

cos (t)

$\cos (t)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\int {cos}^{1} (t) {cos}^{1} (t) d t

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\int {cos (t)}^{1 + 1} d t

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

解题步骤 2.2.4

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

\int {cos}^{2} (t) d t

$\int \cos^{2} (t) d t$

\int {cos}^{2} (t) d t

$\int \cos^{2} (t) d t$

\int {cos}^{2} (t) d t

$\int \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 3

使用半角公式将

\frac{1 + cos (2 t)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为

{cos}^{2} (t)

$\cos^{2} (t)$ 的形式。

\int \frac{1 + cos (2 t)}{2} d t

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 4

由于

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 对于

t

$t$ 是常数，所以将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

\frac{1}{2} \int 1 + cos (2 t) d t

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

\frac{1}{2} (\int d t + \int cos (2 t) d t)

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

\frac{1}{2} (t + C + \int cos (2 t) d t)

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 7

使

u = 2 t

$u = 2 t$ 。然后使

d u = 2 d t

$d u = 2 d t$ ，以便

\frac{1}{2} d u = d t

$\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用

u

$u$ 和

d

$d$

u

$u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

设

u = 2 t

$u = 2 t$ 。求

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

对

2 t

$2 t$ 求导。

\frac{d}{d t} [2 t]

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 7.1.2

因为

2

$2$ 对于

t

$t$ 是常数，所以

2 t

$2 t$ 对

t

$t$ 的导数是

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

2

$2$

2

$2$

解题步骤 7.2

使用

u

$u$ 和

d u

$d u$ 重写该问题。

\frac{1}{2} (t + C + \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (t + C + \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 8

组合

cos (u)

$\cos (u)$ 和

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 9

由于

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 对于

u

$u$ 是常数，所以将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int cos (u) d u)

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 10

cos (u)

$\cos (u)$ 对

u

$u$ 的积分为

sin (u)

$\sin (u)$ 。

\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 11

化简。

\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 12

代回替换每一个积分法替换变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

使用

arcsin (x)

$\arcsin (x)$ 替换所有出现的

t

$t$ 。

\frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 12.2

使用

2 t

$2 t$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

\frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 t)) + C

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

解题步骤 12.3

使用

arcsin (x)

$\arcsin (x)$ 替换所有出现的

t

$t$ 。

\frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) + C

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

\frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) + C

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

解题步骤 13

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

sin (2 arcsin (x))

$\sin (2 \arcsin (x))$ 。

\frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{sin (2 arcsin (x))}{2}) + C

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

解题步骤 13.2

运用分配律。

\frac{1}{2} arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{sin (2 arcsin (x))}{2} + C

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

解题步骤 13.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

arcsin (x)

$\arcsin (x)$ 。

\frac{arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{sin (2 arcsin (x))}{2} + C

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

解题步骤 13.4

乘以

\frac{1}{2} \cdot \frac{sin (2 arcsin (x))}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.4.1

将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 乘以

\frac{sin (2 arcsin (x))}{2}

$\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ 。

\frac{arcsin (x)}{2} + \frac{sin (2 arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 13.4.2

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

\frac{arcsin (x)}{2} + \frac{sin (2 arcsin (x))}{4} + C

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

\frac{arcsin (x)}{2} + \frac{sin (2 arcsin (x))}{4} + C

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

\frac{arcsin (x)}{2} + \frac{sin (2 arcsin (x))}{4} + C

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

解题步骤 14

重新排序项。

\frac{1}{2} arcsin (x) + \frac{1}{4} sin (2 arcsin (x)) + C

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

输入您的问题

微积分学 示例

微积分学示例