微积分学示例

$\int \sqrt{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 1

使

$x = \sin (t)$ ，其中

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使

$d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以

$\cos (t)$ 为正数。

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

对

$\cos (t)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

解题步骤 2.2.2

对

$\cos (t)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

解题步骤 2.2.4

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\int \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 3

使用半角公式将

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为

$\cos^{2} (t)$ 的形式。

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 4

由于

$\frac{1}{2}$ 对于

$t$ 是常数，所以将

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 7

使

$u = 2 t$ 。然后使

$d u = 2 d t$ ，以便

$\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用

$u$ 和

$d$

$u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设

$u = 2 t$ 。求

$\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对

$2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 7.1.2

因为

$2$ 对于

$t$ 是常数，所以

$2 t$ 对

$t$ 的导数是

$2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于

$n t^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$2$

解题步骤 7.2

使用

$u$ 和

$d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 8

组合

$\cos (u)$ 和

$\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 9

由于

$\frac{1}{2}$ 对于

$u$ 是常数，所以将

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 10

$\cos (u)$ 对

$u$ 的积分为

$\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 11

化简。

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 12

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 12.1

使用

$\arcsin (x)$ 替换所有出现的

$t$ 。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 12.2

使用

$2 t$ 替换所有出现的

$u$ 。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

解题步骤 12.3

使用

$\arcsin (x)$ 替换所有出现的

$t$ 。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$\sin (2 \arcsin (x))$ 。

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

解题步骤 13.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

解题步骤 13.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$\arcsin (x)$ 。

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

解题步骤 13.4

乘以

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ 。

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解题步骤 13.4.1

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ 。

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 13.4.2

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

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