微积分学示例

$\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \frac{1}{2} \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{\cos (t)}{2} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{\cos (t)}{2}$ 为正数。

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (t)$ 。

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $\frac{\sin (t)}{2}$ 运用乘积法则。

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.4.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4.2

约去公因数。

$\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4.3

重写表达式。

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.5

将 $- 1 \sin^{2} (t)$ 重写为 $- \sin^{2} (t)$ 。

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.2

使用勾股恒等式。

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\cos (t)$ 和 $\frac{\cos (t)}{2}$ 。

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.3

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

解题步骤 2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 4

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 9

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 9.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 9.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 10

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 12

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 13

化简。

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 14

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 14.1

使用 $\arcsin (2 x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 14.2

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

解题步骤 14.3

使用 $\arcsin (2 x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 \arcsin (2 x))$ 。

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}) + C$

解题步骤 15.2

运用分配律。

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

解题步骤 15.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\arcsin (2 x)$ 。

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

解题步骤 15.4

乘以 $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ 。

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解题步骤 15.4.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ 。

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 15.4.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (2 x)) + C$

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