微积分学示例

\int x cos (3 x) d x

$\int x \cos (3 x) d x$

解题步骤 1

利用公式

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中

u = x

$u = x$ ，

d v = cos (3 x)

$d v = \cos (3 x)$ 。

x (\frac{1}{3} sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} sin (3 x) d x

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 和

sin (3 x)

$\sin (3 x)$ 。

x \frac{sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} sin (3 x) d x

$x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

解题步骤 2.2

组合

x

$x$ 和

\frac{sin (3 x)}{3}

$\frac{\sin (3 x)}{3}$ 。

\frac{x sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} sin (3 x) d x

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

\frac{x sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} sin (3 x) d x

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

解题步骤 3

由于

$\frac{1}{3}$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)$

解题步骤 4

使

$u = 3 x$ 。然后使

$d u = 3 d x$ ，以便

$\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用

$u$ 和

$d$

$u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设

$u = 3 x$ 。求

$\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对

$3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 4.1.2

因为

$3$ 对于

$x$ 是常数，所以

$3 x$ 对

$x$ 的导数是

$3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将

$3$ 乘以

$1$ 。

$3$

解题步骤 4.2

使用

$u$ 和

$d u$ 重写该问题。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 5

组合

$\sin (u)$ 和

$\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

解题步骤 6

由于

$\frac{1}{3}$ 对于

$u$ 是常数，所以将

$\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将

$\frac{1}{3}$ 乘以

$\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u$

解题步骤 7.2

将

$3$ 乘以

$3$ 。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

解题步骤 8

$\sin (u)$ 对

$u$ 的积分为

$- \cos (u)$ 。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$

解题步骤 9

将

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$ 重写为

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$ 。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$

解题步骤 10

使用

$3 x$ 替换所有出现的

$u$ 。

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$\frac{1}{3} x \sin (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C$

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