微积分学示例

$\int x e^{2 x} d x$

解题步骤 1

利用公式

$\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中

$u = x$ ，

$d v = e^{2 x}$ 。

$x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$e^{2 x}$ 。

$x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 2.2

组合

$x$ 和

$\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 3

由于

$\frac{1}{2}$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

解题步骤 4

使

$u = 2 x$ 。然后使

$d u = 2 d x$ ，以便

$\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用

$u$ 和

$d$

$u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设

$u = 2 x$ 。求

$\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对

$2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.2

因为

$2$ 对于

$x$ 是常数，所以

$2 x$ 对

$x$ 的导数是

$2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$2$

解题步骤 4.2

使用

$u$ 和

$d u$ 重写该问题。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5

组合

$e^{u}$ 和

$\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 6

由于

$\frac{1}{2}$ 对于

$u$ 是常数，所以将

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

解题步骤 7.2

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

解题步骤 8

$e^{u}$ 对

$u$ 的积分为

$e^{u}$ 。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

解题步骤 9

将

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ 重写为

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ 。

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

解题步骤 10

使用

$2 x$ 替换所有出现的

$u$ 。

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

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