微积分学示例

$\int x \sin (4 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (4 x)$ 。

$x (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\cos (4 x)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$x (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x$ 和 $\frac{\cos (4 x)}{4}$ 。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

解题步骤 4

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x$

解题步骤 5

使 $u = 4 x$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

解题步骤 6

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 8

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \cos (u) d u$

解题步骤 8.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

解题步骤 9

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$

解题步骤 10

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解题步骤 10.1

将 $- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$ 重写为 $- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$ 。

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

解题步骤 10.2

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解题步骤 10.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{x}{4} \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

解题步骤 10.2.2

组合 $\cos (4 x)$ 和 $\frac{x}{4}$ 。

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

解题步骤 11

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$

解题步骤 12

将 $\frac{\cos (4 x) x}{4}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$

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