微积分学示例

$\int \frac{x^{3} + x}{x^{3} - 1} d x$

解题步骤 1

用

$x^{3} + x$ 除以

$x^{3} - 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带

$0$ 值的项。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项

$x^{3}$ 除以除数中的最高阶项

$x^{3}$ 。

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$1$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$x^{3} + 0 + 0 - 1$ 中的所有符号

								$1$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$1$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

								$1$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$1$
											+	$x$	+	$1$

解题步骤 1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

解题步骤 4

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 4.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 4.1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 4.1.1.1

将

$1$ 重写为

$1^{3}$ 。

$\frac{x + 1}{x^{3} - 1^{3}}$

解题步骤 4.1.1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中

$a = x$ 和

$b = 1$ 。

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 4.1.1.3

化简。

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解题步骤 4.1.1.3.1

将

$x$ 乘以

$1$ 。

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

解题步骤 4.1.1.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

解题步骤 4.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置

$A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 1}$

解题步骤 4.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有

$2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 4.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为

$(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ 。

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 4.1.5

约去

$x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.5.1

约去公因数。

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 4.1.5.2

重写表达式。

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 4.1.6

约去

$x^{2} + x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.6.1

约去公因数。

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 4.1.6.2

用

$x + 1$ 除以

$1$ 。

$x + 1 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 4.1.7

化简每一项。

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解题步骤 4.1.7.1

约去

$x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.7.1.1

约去公因数。

$x + 1 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 4.1.7.1.2

用

$(A) (x^{2} + x + 1)$ 除以

$1$ 。

$x + 1 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 4.1.7.2

运用分配律。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 4.1.7.3

将

$A$ 乘以

$1$ 。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 4.1.7.4

约去

$x^{2} + x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.7.4.1

约去公因数。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 4.1.7.4.2

用

$(B x + C) (x - 1)$ 除以

$1$ 。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

解题步骤 4.1.7.5

使用 FOIL 方法展开

$(B x + C) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.1.7.5.1

运用分配律。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

解题步骤 4.1.7.5.2

运用分配律。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

解题步骤 4.1.7.5.3

运用分配律。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

解题步骤 4.1.7.6

化简每一项。

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解题步骤 4.1.7.6.1

通过指数相加将

$x$ 乘以

$x$ 。

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解题步骤 4.1.7.6.1.1

移动

$x$ 。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

解题步骤 4.1.7.6.1.2

将

$x$ 乘以

$x$ 。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

解题步骤 4.1.7.6.2

将

$- 1$ 移到

$B x$ 的左侧。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

解题步骤 4.1.7.6.3

将

$- 1 (B x)$ 重写为

$- (B x)$ 。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

解题步骤 4.1.7.6.4

将

$- 1$ 移到

$C$ 的左侧。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

解题步骤 4.1.7.6.5

将

$- 1 C$ 重写为

$- C$ 。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

解题步骤 4.1.8

化简表达式。

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解题步骤 4.1.8.1

将

$B$ 和

$x^{2}$ 重新排序。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

解题步骤 4.1.8.2

移动

$B$ 。

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

解题步骤 4.1.8.3

移动

$A$ 。

$x + 1 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

解题步骤 4.1.8.4

移动

$A x$ 。

$x + 1 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

解题步骤 4.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 4.2.1

使方程两边

$x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 4.2.2

使方程两边

$x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A - 1 B + C$

解题步骤 4.2.3

使方程两边不含

$x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A - 1 C$

解题步骤 4.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

解题步骤 4.3

求解方程组。

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解题步骤 4.3.1

在

$0 = A + B$ 中求解

$A$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

将方程重写为

$A + B = 0$ 。

$A + B = 0$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

解题步骤 4.3.1.2

从等式两边同时减去

$B$ 。

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

解题步骤 4.3.2

将每个方程中所有出现的

$A$ 替换成

$- B$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

使用

$- B$ 替换

$1 = A - 1 B + C$ 中所有出现的

$A$ .

$1 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

解题步骤 4.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

化简

$(- B) - 1 B + C$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1

将

$- 1 B$ 重写为

$- B$ 。

$1 = - B - B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

解题步骤 4.3.2.2.1.2

从

$- B$ 中减去

$B$ 。

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

解题步骤 4.3.2.3

使用

$- B$ 替换

$1 = A - 1 C$ 中所有出现的

$A$ .

$1 = (- B) - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

解题步骤 4.3.2.4

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.4.1

将

$- 1 C$ 重写为

$- C$ 。

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

解题步骤 4.3.3

在

$1 = - 2 B + C$ 中求解

$C$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

将方程重写为

$- 2 B + C = 1$ 。

$- 2 B + C = 1$

$1 = - B - C$

$A = - B$

解题步骤 4.3.3.2

在等式两边都加上

$2 B$ 。

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

解题步骤 4.3.4

将每个方程中所有出现的

$C$ 替换成

$1 + 2 B$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

使用

$1 + 2 B$ 替换

$1 = - B - C$ 中所有出现的

$C$ .

$1 = - B - (1 + 2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.4.2.1

化简

$- B - (1 + 2 B)$ 。

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解题步骤 4.3.4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.4.2.1.1.1

运用分配律。

$1 = - B - 1 \cdot 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.4.2.1.1.2

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$1 = - B - 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.4.2.1.1.3

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.4.2.1.2

从

$- B$ 中减去

$2 B$ 。

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.5

在

$1 = - 3 B - 1$ 中求解

$B$ 。

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解题步骤 4.3.5.1

将方程重写为

$- 3 B - 1 = 1$ 。

$- 3 B - 1 = 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.5.2

将所有不包含

$B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.5.2.1

在等式两边都加上

$1$ 。

$- 3 B = 1 + 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.5.2.2

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.5.3

将

$- 3 B = 2$ 中的每一项除以

$- 3$ 并化简。

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解题步骤 4.3.5.3.1

将

$- 3 B = 2$ 中的每一项都除以

$- 3$ 。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.5.3.2.1

约去

$- 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.5.3.2.1.2

用

$B$ 除以

$1$ 。

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.5.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.6

将每个方程中所有出现的

$B$ 替换成

$- \frac{2}{3}$ 。

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解题步骤 4.3.6.1

使用

$- \frac{2}{3}$ 替换

$C = 1 + 2 B$ 中所有出现的

$B$ .

$C = 1 + 2 (- \frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

解题步骤 4.3.6.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.6.2.1

化简

$1 + 2 (- \frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 4.3.6.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.6.2.1.1.1

乘以

$2 (- \frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 4.3.6.2.1.1.1.1

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$C = 1 - 2 (\frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

解题步骤 4.3.6.2.1.1.1.2

组合

$- 2$ 和

$\frac{2}{3}$ 。

$C = 1 + \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

解题步骤 4.3.6.2.1.1.1.3

将

$- 2$ 乘以

$2$ 。

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

解题步骤 4.3.6.2.1.1.2

将负号移到分数的前面。

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

解题步骤 4.3.6.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 4.3.6.2.1.2.1

将

$1$ 写成具有公分母的分数。

$C = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

解题步骤 4.3.6.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$C = \frac{3 - 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

解题步骤 4.3.6.2.1.2.3

从

$3$ 中减去

$4$ 。

$C = \frac{- 1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

解题步骤 4.3.6.2.1.2.4

将负号移到分数的前面。

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

解题步骤 4.3.6.3

使用

$- \frac{2}{3}$ 替换

$A = - B$ 中所有出现的

$B$ .

$A = - (- \frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

解题步骤 4.3.6.4

化简右边。

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解题步骤 4.3.6.4.1

乘以

$- (- \frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 4.3.6.4.1.1

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$A = 1 (\frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

解题步骤 4.3.6.4.1.2

将

$\frac{2}{3}$ 乘以

$1$ 。

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

解题步骤 4.3.7

列出所有解。

$A = \frac{2}{3}, C = - \frac{1}{3}, B = - \frac{2}{3}$

解题步骤 4.4

将

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的

$A$ 、

$B$ 和

$C$ 的值。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2}{3 x} - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by

$3$ .

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解题步骤 4.5.1.1

将

$\frac{- \frac{2}{3} \cdot x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ 乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

解题步骤 4.5.1.2

合并。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

解题步骤 4.5.2

运用分配律。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (- \frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.3

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.3.1

将

$- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.3.2

约去公因数。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.3.3

重写表达式。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.4

化简分子。

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解题步骤 4.5.4.1

组合

$x$ 和

$\frac{2}{3}$ 。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.4.2

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.4.2.1

将

$- \frac{x \cdot 2}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.4.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.4.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- x \cdot 2 - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.4.3

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.5.5.1

从

$3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ 中分解出因数

$3$ 。

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解题步骤 4.5.5.1.1

从

$3 x^{2}$ 中分解出因数

$3$ 。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.5.1.2

从

$3 x$ 中分解出因数

$3$ 。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.5.1.3

从

$3 \cdot 1$ 中分解出因数

$3$ 。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

解题步骤 4.5.5.1.4

从

$3 (x^{2}) + 3 (x)$ 中分解出因数

$3$ 。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

解题步骤 4.5.5.1.5

从

$3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ 中分解出因数

$3$ 。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

解题步骤 4.5.5.2

从

$- 2 x$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

解题步骤 4.5.5.3

将

$- 1$ 重写为

$- 1 (1)$ 。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1 \cdot 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

解题步骤 4.5.5.4

从

$- (2 x) - 1 (1)$ 中分解出因数

$- 1$ 。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

解题步骤 4.5.5.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.5.5.1

将

$- (2 x + 1)$ 重写为

$- 1 (2 x + 1)$ 。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 1 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

解题步骤 4.5.5.5.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

解题步骤 4.5.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

解题步骤 4.5.7

将

$\frac{2}{3}$ 乘以

$\frac{1}{x - 1}$ 。

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

解题步骤 6

由于

$\frac{2}{3}$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

解题步骤 7

使

$u_{1} = x - 1$ 。然后使

$d u_{1} = d x$ 。使用

$u_{1}$ 和

$d$

$u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设

$u_{1} = x - 1$ 。求

$\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对

$x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 7.1.2

根据加法法则，

$x - 1$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 7.1.4

因为

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 1$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 7.1.5

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$1$

解题步骤 7.2

使用

$u_{1}$ 和

$d u_{1}$ 重写该问题。

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

解题步骤 8

$\frac{1}{u_{1}}$ 对

$u_{1}$ 的积分为

$\ln (| u_{1} |)$ 。

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

解题步骤 9

由于

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$- 1$ 移到积分外。

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

解题步骤 10

由于

$\frac{1}{3}$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x)$

解题步骤 11

使

$u_{2} = x^{2} + x + 1$ 。然后使

$d u_{2} = (2 x + 1) d x$ ，以便

$\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ 。使用

$u_{2}$ 和

$d$

$u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设

$u_{2} = x^{2} + x + 1$ 。求

$\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对

$x^{2} + x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

解题步骤 11.1.2

根据加法法则，

$x^{2} + x + 1$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 11.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 11.1.5

因为

$1$ 对于

$x$ 是常数，所以

$1$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$2 x + 1 + 0$

解题步骤 11.1.6

将

$2 x + 1$ 和

$0$ 相加。

$2 x + 1$

解题步骤 11.2

使用

$u_{2}$ 和

$d u_{2}$ 重写该问题。

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 12

$\frac{1}{u_{2}}$ 对

$u_{2}$ 的积分为

$\ln (| u_{2} |)$ 。

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 13

化简。

$x + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 14

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 14.1

使用

$x - 1$ 替换所有出现的

$u_{1}$ 。

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 14.2

使用

$x^{2} + x + 1$ 替换所有出现的

$u_{2}$ 。

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$

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