微积分学示例

$\int \frac{x^{2} + 2 x - 1}{2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2}) + 3 x^{2} - 2 x}$

解题步骤 1.1.1.1.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2}) + x (3 x) - 2 x}$

解题步骤 1.1.1.1.3

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot - 2}$

解题步骤 1.1.1.1.4

从 $x (2 x^{2}) + x (3 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2}$

解题步骤 1.1.1.1.5

从 $x (2 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + 3 x - 2)}$

解题步骤 1.1.1.2

因数。

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解题步骤 1.1.1.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + 3 (x) - 2)}$

解题步骤 1.1.1.2.1.1.2

把 $3$ 重写为 $- 1$ 加 $4$

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)}$

解题步骤 1.1.1.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)}$

解题步骤 1.1.1.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)}$

解题步骤 1.1.1.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))}$

解题步骤 1.1.1.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x ((2 x - 1) (x + 2))}$

解题步骤 1.1.1.2.2

去掉多余的括号。

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x - 1) (x + 2)}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x - 1}$

解题步骤 1.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x - 1} + \frac{C}{x + 2}$

解题步骤 1.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (2 x - 1) (x + 2)$ 。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x (2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x (2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.5.2

重写表达式。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) ((2 x - 1) (x + 2))}{(2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.6

约去 $2 x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) ((2 x - 1) (x + 2))}{(2 x - 1) (x + 2)} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.6.2

重写表达式。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.7

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 2 x - 1) (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.7.2

用 $x^{2} + 2 x - 1$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8

化简每一项。

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解题步骤 1.1.8.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.8.1.1

约去公因数。

$x^{2} + 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x - 1) (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.1.2

用 $A ((2 x - 1) (x + 2))$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = A ((2 x - 1) (x + 2)) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 1) (x + 2)$ 。

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解题步骤 1.1.8.2.1

运用分配律。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x (x + 2) - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.2.2

运用分配律。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 (x + 2)) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.2.3

运用分配律。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.8.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.8.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 4 x - 1 x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 4 x - x - 1 \cdot 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 4 x - x - 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.3.2

从 $4 x$ 中减去 $x$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2} + 3 x - 2) + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.4

运用分配律。

$x^{2} + 2 x - 1 = A (2 x^{2}) + A (3 x) + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.5

化简。

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解题步骤 1.1.8.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + A (3 x) + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.5.3

将 $- 2$ 移到 $A$ 的左侧。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.6

约去 $2 x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.8.6.1

约去公因数。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + \frac{B (x (2 x - 1) (x + 2))}{2 x - 1} + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.6.2

用 $(B) (x (x + 2))$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + (B) (x (x + 2)) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.7

运用分配律。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.8

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.9

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.10

运用分配律。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + B (2 x) + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.11

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{(C) (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.12

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.8.12.1

约去公因数。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + \frac{C (x (2 x - 1) (x + 2))}{x + 2}$

解题步骤 1.1.8.12.2

用 $(C) (x (2 x - 1))$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + (C) (x (2 x - 1))$

解题步骤 1.1.8.13

运用分配律。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (x (2 x) + x \cdot - 1)$

解题步骤 1.1.8.14

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x \cdot x + x \cdot - 1)$

解题步骤 1.1.8.15

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x \cdot x - 1 \cdot x)$

解题步骤 1.1.8.16

化简每一项。

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解题步骤 1.1.8.16.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.8.16.1.1

移动 $x$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x)$

解题步骤 1.1.8.16.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x^{2} - 1 \cdot x)$

解题步骤 1.1.8.16.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x^{2} - x)$

解题步骤 1.1.8.17

运用分配律。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + C (2 x^{2}) + C (- x)$

解题步骤 1.1.8.18

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} + C (- x)$

解题步骤 1.1.8.19

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 A x^{2} + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

解题步骤 1.1.9

化简表达式。

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解题步骤 1.1.9.1

移动 $A$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 A x - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

解题步骤 1.1.9.2

移动 $A$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

解题步骤 1.1.9.3

将 $B$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A - 2 A + B x^{2} + 2 B x + 2 C x^{2} - C x$

解题步骤 1.1.9.4

移动 $B$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A - 2 A + B x^{2} + 2 x B + 2 C x^{2} - C x$

解题步骤 1.1.9.5

移动 $- 2 A$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A + B x^{2} + 2 x B + 2 C x^{2} - C x - 2 A$

解题步骤 1.1.9.6

移动 $2 x B$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + 3 x A + B x^{2} + 2 C x^{2} + 2 x B - C x - 2 A$

解题步骤 1.1.9.7

移动 $3 x A$ 。

$x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} A + B x^{2} + 2 C x^{2} + 3 x A + 2 x B - C x - 2 A$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = 2 A + B + 2 C$

解题步骤 1.2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

解题步骤 1.2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 1 = - 2 A$

解题步骤 1.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$- 1 = - 2 A$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$- 1 = - 2 A$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $- 1 = - 2 A$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $- 2 A = - 1$ 。

$- 2 A = - 1$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 2 A = - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 1.3.1.2.1

将 $- 2 A = - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

解题步骤 1.3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.1.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 A}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

解题步骤 1.3.1.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{- 1}{- 2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

解题步骤 1.3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$A = \frac{1}{2}$

$1 = 2 A + B + 2 C$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $\frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $\frac{1}{2}$ 替换 $1 = 2 A + B + 2 C$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = 2 (\frac{1}{2}) + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

约去公因数。

$1 = 2 (\frac{1}{2}) + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

重写表达式。

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = 3 A + 2 B - 1 C$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $\frac{1}{2}$ 替换 $2 = 3 A + 2 B - 1 C$ 中所有出现的 $A$ .

$2 = 3 (\frac{1}{2}) + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.2.4

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.4.1.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - 1 C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.2.4.1.2

将 $- 1 C$ 重写为 $- C$ 。

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$1 = 1 + B + 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.3

在 $1 = 1 + B + 2 C$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

将方程重写为 $1 + B + 2 C = 1$ 。

$1 + B + 2 C = 1$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$B + 2 C = 1 - 1$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.3.2.2

从等式两边同时减去 $2 C$ 。

$B = 1 - 1 - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.3.2.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$B = 0 - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.3.2.4

从 $0$ 中减去 $2 C$ 。

$B = - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- 2 C$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $- 2 C$ 替换 $2 = \frac{3}{2} + 2 B - C$ 中所有出现的 $B$ .

$2 = \frac{3}{2} + 2 (- 2 C) - C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

化简 $\frac{3}{2} + 2 (- 2 C) - C$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$2 = \frac{3}{2} - 4 C - C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.4.2.1.2

从 $- 4 C$ 中减去 $C$ 。

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$2 = \frac{3}{2} - 5 C$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.5

在 $2 = \frac{3}{2} - 5 C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

将方程重写为 $\frac{3}{2} - 5 C = 2$ 。

$\frac{3}{2} - 5 C = 2$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.5.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.5.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{3}{2}$ 。

$- 5 C = 2 - \frac{3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.5.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 5 C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.5.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 5 C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.5.2.4

在公分母上合并分子。

$- 5 C = \frac{2 \cdot 2 - 3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.5.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.3.5.2.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 5 C = \frac{4 - 3}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.5.2.5.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$- 5 C = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$- 5 C = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$- 5 C = \frac{1}{2}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.5.3

将 $- 5 C = \frac{1}{2}$ 中的每一项除以 $- 5$ 并化简。

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解题步骤 1.3.5.3.1

将 $- 5 C = \frac{1}{2}$ 中的每一项都除以 $- 5$ 。

$\frac{- 5 C}{- 5} = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.5.3.2.1

约去 $- 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 5 C}{- 5} = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.5.3.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.5.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.5.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$C = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{5})$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.5.3.3.3

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{5})$ 。

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解题步骤 1.3.5.3.3.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$C = - \frac{1}{2 \cdot 5}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.5.3.3.3.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = - 2 C$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.6

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $- \frac{1}{10}$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

使用 $- \frac{1}{10}$ 替换 $B = - 2 C$ 中所有出现的 $C$ .

$B = - 2 (- \frac{1}{10})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.6.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.6.2.1

化简 $- 2 (- \frac{1}{10})$ 。

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解题步骤 1.3.6.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.6.2.1.1.1

将 $- \frac{1}{10}$ 中前置负号移到分子中。

$B = - 2 (\frac{- 1}{10})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.6.2.1.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$B = 2 (- 1) (\frac{- 1}{10})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.6.2.1.1.3

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.6.2.1.1.4

约去公因数。

$B = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.6.2.1.1.5

重写表达式。

$B = - 1 (\frac{- 1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - 1 (\frac{- 1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.6.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$B = - 1 (- \frac{1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.6.2.1.3

乘以 $- 1 (- \frac{1}{5})$ 。

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解题步骤 1.3.6.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$B = 1 (\frac{1}{5})$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.6.2.1.3.2

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $1$ 。

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{5}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.7

列出所有解。

$B = \frac{1}{5}, C = - \frac{1}{10}, A = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x - 1} + \frac{C}{x + 2}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{5}}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{5}}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{5}}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

解题步骤 1.5.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 x - 1} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

解题步骤 1.5.4

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{2 x - 1}$ 。

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 2}$

解题步骤 1.5.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{x + 2}$

解题步骤 1.5.6

将 $\frac{1}{x + 2}$ 乘以 $\frac{1}{10}$ 。

$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{(x + 2) \cdot 10}$

解题步骤 1.5.7

将 $10$ 移到 $x + 2$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

解题步骤 6

使 $u_{1} = 2 x - 1$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{1} = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 6.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 6.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

解题步骤 7.2

将 $2$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2 \cdot 5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

解题步骤 9.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

解题步骤 10

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{10}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{10}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{10} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

解题步骤 13

使 $u_{2} = x + 2$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 13.1

设 $u_{2} = x + 2$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 13.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 13.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 13.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 13.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 13.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 14

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{10} (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 15

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{10} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 16

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 16.1

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| 2 x - 1 |) - \frac{1}{10} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 16.2

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| 2 x - 1 |) - \frac{1}{10} \ln (| x + 2 |) + C$

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