微积分学示例

\infty \sum k = 1 k e^{k^{2}}

$\sum_{k = 1}^{\infty} k e^{k^{2}}$

解题步骤 1

判断函数在求和边界上是否连续。

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解题步骤 1.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${k | k \in ℝ}$

解题步骤 1.2

$f (k)$ 在

$[1, \infty)$ 上连续。

$该函数连续。$

解题步骤 2

判断函数在边界上是否为正。

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解题步骤 2.1

设置一个不等式。

$k e^{k^{2}} > 0$

解题步骤 2.2

求解不等式。

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解题步骤 2.2.1

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$k = 0$

$e^{k^{2}} = 0$

解题步骤 2.2.2

将

$k$ 设为等于

$0$ 。

$k = 0$

解题步骤 2.2.3

将

$e^{k^{2}}$ 设为等于

$0$ 并求解

$k$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

将

$e^{k^{2}}$ 设为等于

$0$ 。

$e^{k^{2}} = 0$

解题步骤 2.2.3.2

求解

$k$ 的

$e^{k^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.3.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

解题步骤 2.2.3.2.2

因为

$\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.2.3.2.3

$e^{k^{2}} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.2.4

最终解为使

$k e^{k^{2}} > 0$ 成立的所有值。

$k = 0$

解题步骤 2.2.5

解由使等式成立的所有区间组成。

$k > 0$

解题步骤 3

判断函数的递减位置。

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解题步骤 3.1

将

$k e^{k^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (k) = k e^{k^{2}}$

解题步骤 3.2

求一阶导数。

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解题步骤 3.2.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.2.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ 等于

$f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ ，其中

$f (k) = k$ 且

$g (k) = e^{k^{2}}$ 。

$k \frac{d}{d k} [e^{k^{2}}] + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

解题步骤 3.2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ 等于

$f' (g (k)) g' (k)$ ，其中

$f (k) = e^{k}$ 且

$g (k) = k^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1

要使用链式法则，请将

$u$ 设为

$k^{2}$ 。

$k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

解题步骤 3.2.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于

$a^{u} \ln (a)$ ，其中

$a$ =

$e$ 。

$k (e^{u} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

解题步骤 3.2.1.2.3

使用

$k^{2}$ 替换所有出现的

$u$ 。

$k (e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k^{2}]) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

解题步骤 3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d k} [k^{n}]$ 等于

$n k^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$k (e^{k^{2}} (2 k)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

解题步骤 3.2.1.4

对

$k$ 进行

$1$ 次方运算。

$k^{1} k (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

解题步骤 3.2.1.5

对

$k$ 进行

$1$ 次方运算。

$k^{1} k^{1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

解题步骤 3.2.1.6

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$k^{1 + 1} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

解题步骤 3.2.1.7

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1.7.1

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$k^{2} (e^{k^{2}} \cdot (2)) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

解题步骤 3.2.1.7.2

将

$2$ 移到

$e^{k^{2}}$ 的左侧。

$k^{2} (2 \cdot e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \frac{d}{d k} [k]$

解题步骤 3.2.1.8

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d k} [k^{n}]$ 等于

$n k^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}} \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.9

将

$e^{k^{2}}$ 乘以

$1$ 。

$k^{2} (2 e^{k^{2}}) + e^{k^{2}}$

解题步骤 3.2.1.10

化简。

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解题步骤 3.2.1.10.1

重新排序项。

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$

解题步骤 3.2.1.10.2

将

$2 e^{k^{2}} k^{2} + e^{k^{2}}$ 中的因式重新排序。

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

解题步骤 3.2.2

$f (k)$ 对

$k$ 的一阶导数是

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ 。

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$

解题步骤 3.3

将一阶导数设为等于

$0$ ，然后求解方程

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 3.3.1

将一阶导数设为等于

$0$ 。

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} = 0$

解题步骤 3.3.2

从

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ 中分解出因数

$e^{k^{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

从

$2 k^{2} e^{k^{2}}$ 中分解出因数

$e^{k^{2}}$ 。

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} = 0$

解题步骤 3.3.2.2

乘以

$1$ 。

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1 = 0$

解题步骤 3.3.2.3

从

$e^{k^{2}} (2 k^{2}) + e^{k^{2}} \cdot 1$ 中分解出因数

$e^{k^{2}}$ 。

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$

解题步骤 3.3.3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$e^{k^{2}} = 0$

$2 k^{2} + 1 = 0$

解题步骤 3.3.4

将

$e^{k^{2}}$ 设为等于

$0$ 并求解

$k$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

将

$e^{k^{2}}$ 设为等于

$0$ 。

$e^{k^{2}} = 0$

解题步骤 3.3.4.2

求解

$k$ 的

$e^{k^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 3.3.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{k^{2}}) = \ln (0)$

解题步骤 3.3.4.2.2

因为

$\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 3.3.4.2.3

$e^{k^{2}} = 0$ 无解

无解

解题步骤 3.3.5

将

$2 k^{2} + 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$k$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

将

$2 k^{2} + 1$ 设为等于

$0$ 。

$2 k^{2} + 1 = 0$

解题步骤 3.3.5.2

求解

$k$ 的

$2 k^{2} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.3.5.2.1

从等式两边同时减去

$1$ 。

$2 k^{2} = - 1$

解题步骤 3.3.5.2.2

将

$2 k^{2} = - 1$ 中的每一项除以

$2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.5.2.2.1

将

$2 k^{2} = - 1$ 中的每一项都除以

$2$ 。

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.3.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.5.2.2.2.1

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 k^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.3.5.2.2.2.1.2

用

$k^{2}$ 除以

$1$ 。

$k^{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.3.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$k^{2} = - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3.5.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$k = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.3.5.2.4

化简

$\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.5.2.4.1

将

$- \frac{1}{2}$ 重写为

$i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.5.2.4.1.1

将

$- 1$ 重写为

$i^{2}$ 。

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.1.2

将

$1$ 重写为

$1^{2}$ 。

$k = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.2

从根式下提出各项。

$k = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.3

一的任意次幂都为一。

$k = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.4

将

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$k = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.5

$1$ 的任意次方根都是

$1$ 。

$k = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.6

将

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$k = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 3.3.5.2.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.3.5.2.4.7.1

将

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.7.2

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.7.3

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.7.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.7.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.7.6

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 3.3.5.2.4.7.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.7.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.7.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.5.2.4.7.6.4.1

约去公因数。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.7.6.4.2

重写表达式。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 3.3.5.2.4.7.6.5

计算指数。

$k = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3.5.2.4.8

组合

$i$ 和

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$k = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3.5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.5.2.5.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3.5.2.5.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$k = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3.5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3.6

最终解为使

$e^{k^{2}} (2 k^{2} + 1) = 0$ 成立的所有值。

$k = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.4

原问题的定义域中没有使得导数为

$0$ 或无意义的

$k$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 3.5

不存在使导数

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ 等于

$0$ 或未定义的点。检查函数

$f (k) = k e^{k^{2}}$ 的为递增还是递减的区间为

$(- \infty, \infty)$ 。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 3.6

将任意数（例如，从区间

$(- \infty, \infty)$ 中的

$1$ ）代入导数

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ ，从而判断结果是正数还是负数。如果结果是负数，则图像在区间

$(- \infty, \infty)$ 上递减。如果结果是正数，则图像在区间

$(- \infty, \infty)$ 上递增。

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解题步骤 3.6.1

使用表达式中的

$1$ 替换变量

$k$ 。

$f' (1) = 2 {(1)}^{2} e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

化简结果。

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解题步骤 3.6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 2 \cdot (1 e^{{(1)}^{2}}) + e^{{(1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2.1.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$f' (1) = 2 e^{{(1)}^{2}} + e^{{(1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2.1.4

化简。

$f' (1) = 2 e + e^{{(1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2.1.5

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 2 e + e$

解题步骤 3.6.2.1.6

化简。

$f' (1) = 2 e + e$

解题步骤 3.6.2.2

将

$2 e$ 和

$e$ 相加。

$f' (1) = 3 e$

解题步骤 3.6.2.3

最终答案为

$3 e$ 。

$3 e$

解题步骤 3.7

将

$1$ 代入

$f' (k) = 2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}}$ 得到的结果为

$3 e$ ，因为是正数，所以其图像在区间

$(- \infty, \infty)$ 递增。

因为

$2 k^{2} e^{k^{2}} + e^{k^{2}} > 0$ ，所以函数在

$(- \infty, \infty)$ 上递增

解题步骤 3.8

在区间

$(- \infty, \infty)$ 上递增意味着该函数恒为递增。

$总是递增$

解题步骤 4

积分检验不适用，因为函数并非总是从

$1$ 递减到

$\infty$ 。

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