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微积分学示例

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

解题步骤 1

要确定级数是否收敛，先确定数列的积分是否收敛。

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

将积分表示为

t

$t$ 趋于

\infty

$\infty$ 时的极限。

lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 对

x

$x$ 的积分为

\ln (| x |)

$\ln (| x |)$ 。

lim_{t \to \infty} \ln (| x |)]_{1}^{t}

$lim_{t \to \infty} \ln (| x |)]_{1}^{t}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

计算

\ln (| x |)

$\ln (| x |)$ 在

t

$t$ 处和在

1

$1$ 处的值。

lim_{t \to \infty} (\ln (| t |)) - \ln (| 1 |)

$lim_{t \to \infty} (\ln (| t |)) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 4.2

去掉圆括号。

lim_{t \to \infty} \ln (| t |) - \ln (| 1 |)

$lim_{t \to \infty} \ln (| t |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 4.3

使用对数的商数性质，即

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})

$lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})$

lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})

$lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})$

解题步骤 5

当对数趋于无穷大时，值趋于

\infty

$\infty$ 。

\infty

$\infty$

解题步骤 6

由于积分是发散的，级数也是发散的。

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[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$