微积分学示例

20

$20$ ,

4

$4$ ,

\frac{4}{5}

$\frac{4}{5}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ 即得到数列的下一项。亦即

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列：

r = \frac{1}{5}

$r = \frac{1}{5}$

解题步骤 2

级数

S_{n}

$S_{n}$ 的和可以使用公式

S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}

$S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 进行计算。对于无限几何级数的和

S_{\infty}

$S_{\infty}$ ，由于

n

$n$ 趋于

\infty

$\infty$ 、

1 - r^{n}

$1 - r^{n}$ 趋于

1

$1$ ，因此，

\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}

$\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 趋于

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ 。

S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

解题步骤 3

值

a = 20

$a = 20$ 和

r = \frac{1}{5}

$r = \frac{1}{5}$ 可以代入方程

S_{\infty}

$S_{\infty}$ 。

S_{\infty} = \frac{20}{1 - \frac{1}{5}}

$S_{\infty} = \frac{20}{1 - \frac{1}{5}}$

解题步骤 4

化简方程以求

S_{\infty}

$S_{\infty}$ 。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

将

1

$1$ 写成具有公分母的分数。

S_{\infty} = \frac{20}{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}}

$S_{\infty} = \frac{20}{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}}$

解题步骤 4.1.2

在公分母上合并分子。

S_{\infty} = \frac{20}{\frac{5 - 1}{5}}

$S_{\infty} = \frac{20}{\frac{5 - 1}{5}}$

解题步骤 4.1.3

从

5

$5$ 中减去

1

$1$ 。

S_{\infty} = \frac{20}{\frac{4}{5}}

$S_{\infty} = \frac{20}{\frac{4}{5}}$

S_{\infty} = \frac{20}{\frac{4}{5}}

$S_{\infty} = \frac{20}{\frac{4}{5}}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

S_{\infty} = 20 (\frac{5}{4})

$S_{\infty} = 20 (\frac{5}{4})$

解题步骤 4.3

约去

4

$4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从

20

$20$ 中分解出因数

4

$4$ 。

S_{\infty} = 4 (5) (\frac{5}{4})

$S_{\infty} = 4 (5) (\frac{5}{4})$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

S_{\infty} = 4 \cdot (5 (\frac{5}{4}))

$S_{\infty} = 4 \cdot (5 (\frac{5}{4}))$

解题步骤 4.3.3

重写表达式。

S_{\infty} = 5 \cdot 5

$S_{\infty} = 5 \cdot 5$

S_{\infty} = 5 \cdot 5

$S_{\infty} = 5 \cdot 5$

解题步骤 4.4

将

5

$5$ 乘以

5

$5$ 。

S_{\infty} = 25

$S_{\infty} = 25$

S_{\infty} = 25

$S_{\infty} = 25$

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