微积分学示例

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n}$

解题步骤 1

对于无穷级数 $\sum_{}^{} a_{n}$ ，用 Cauchy 根检验求极限 $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ 以判断收敛性。

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

解题步骤 2

替换为 $a_{n}$ 。

$L = lim_{n \to \infty} {| \frac{{(- 2)}^{n}}{n} |}^{\frac{1}{n}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将指数移至绝对值。

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} |$

解题步骤 3.2

对 $\frac{{(- 2)}^{n}}{n}$ 运用乘积法则。

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

解题步骤 3.3

将 ${({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

解题步骤 3.3.2

约去 $n$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

约去公因数。

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

解题步骤 3.3.2.2

重写表达式。

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

解题步骤 3.4

计算指数。

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

计算极限值。

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解题步骤 4.1.1

将极限移到绝对值符号内。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

解题步骤 4.1.2

因为项 $- 2$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$L = | - 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} |$

解题步骤 4.1.3

当 $n$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$L = | - 2 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

解题步骤 4.1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

解题步骤 4.2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 4.2.1

将 $n^{\frac{1}{n}}$ 重写为 $e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ 。

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}} |$

解题步骤 4.2.2

通过将 $\frac{1}{n}$ 移到对数外来展开 $\ln (n^{\frac{1}{n}})$ 。

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

解题步骤 4.3

计算极限值。

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解题步骤 4.3.1

将极限移入指数中。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln (n)}} |$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{1}{n}$ 和 $\ln (n)$ 。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

解题步骤 4.4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.4.1.1

取分子和分母极限值。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (n)}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

解题步骤 4.4.1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

解题步骤 4.4.1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

解题步骤 4.4.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}$

解题步骤 4.4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.4.3.1

对分子和分母进行求导。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

解题步骤 4.4.3.2

$\ln (n)$ 对 $n$ 的导数为 $\frac{1}{n}$ 。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

解题步骤 4.4.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

解题步骤 4.4.4

将分子乘以分母的倒数。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot 1}} |$

解题步骤 4.4.5

将 $\frac{1}{n}$ 乘以 $1$ 。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

解题步骤 4.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{n}$ 趋于 $0$ 。

$L = | - 2 \frac{1}{e^{0}} |$

解题步骤 4.6

化简答案。

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解题步骤 4.6.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

解题步骤 4.6.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

约去公因数。

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

解题步骤 4.6.2.2

重写表达式。

$L = | - 2 \cdot 1 |$

解题步骤 4.6.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$L = | - 2 |$

解题步骤 4.6.4

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 2$ 和 $0$ 之间的距离为 $2$ 。

$L = 2$

解题步骤 5

如果 $L < 1$ ，级数绝对收敛。如果 $L > 1$ ，级数发散。如果 $L = 1$ ，检验没有结果。在本例中， $L > 1$ 。

级数在 $[0, \infty)$ 上发散

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