微积分学示例

\infty \sum 0 \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}

$\sum_{0}^{\infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

解题步骤 1

如果在

n

$n$ 趋近于

\infty

$\infty$ 时数列的极限不存在或不等于

0

$0$ ，则级数是发散的。

lim n \to \infty \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

用分子和分母除以分母中

n

$n$ 的最高次幂，即

n^{3}

$n^{3}$ 。

lim n \to \infty \frac{\frac{2 n^{2}}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n^{2}}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2

计算极限值。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

约去

n^{2}

$n^{2}$ 和

n^{3}

$n^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.1

从

2 n^{2}

$2 n^{2}$ 中分解出因数

n^{2}

$n^{2}$ 。

lim n \to \infty \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

从

n^{3}

$n^{3}$ 中分解出因数

n^{2}

$n^{2}$ 。

lim n \to \infty \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

约去公因数。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.1.2.3

重写表达式。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.2

约去

$n^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.2.1

约去公因数。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.2.2

重写表达式。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1 \cdot 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.1.3

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.2

约去

$n^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

约去公因数。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.2.2

用

$2$ 除以

$1$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{2 + \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.3

当

$n$ 趋于

$\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.4

当

$n$ 趋于

$\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.2.5

因为项

$2$ 对于

$n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数

$\frac{1}{n}$ 趋于

$0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.4

计算极限值。

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解题步骤 2.4.1

计算

$1$ 的极限值，当

$n$ 趋近于

$\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.4.2

当

$n$ 趋于

$\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.4.3

计算

$2$ 的极限值，当

$n$ 趋近于

$\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

解题步骤 2.4.4

因为项

$5$ 对于

$n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

解题步骤 2.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数

$\frac{1}{n^{3}}$ 趋于

$0$ 。

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

解题步骤 2.6

化简答案。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

将

$2$ 乘以

$0$ 。

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

解题步骤 2.6.1.2

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$\frac{0 - 1}{2 + 5 \cdot 0}$

解题步骤 2.6.1.3

从

$0$ 中减去

$1$ 。

$\frac{- 1}{2 + 5 \cdot 0}$

解题步骤 2.6.2

化简分母。

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解题步骤 2.6.2.1

将

$5$ 乘以

$0$ 。

$\frac{- 1}{2 + 0}$

解题步骤 2.6.2.2

将

$2$ 和

$0$ 相加。

$\frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.6.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 3

极限存在且不等于

$0$ ，因此级数是发散的。

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