微积分学示例

$f (x) = 6 - 4 x$

解题步骤 1

将 $f (x) = 6 - 4 x$ 写为等式。

$y = 6 - 4 x$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 6 - 4 y$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $6 - 4 y = x$ 。

$6 - 4 y = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$- 4 y = x - 6$

解题步骤 3.3

将 $- 4 y = x - 6$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 4 y = x - 6$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 6}{- 4}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 6}{- 4}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x}{- 4} + \frac{- 6}{- 4}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- 6}{- 4}$

解题步骤 3.3.3.1.2

约去 $- 6$ 和 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 (3)}{- 4}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.2.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{2}$ 是否为 $f (x) = 6 - 4 x$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (6 - 4 x)$ 。

$f^{- 1} (6 - 4 x) = - \frac{6 - 4 x}{4} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3

化简项。

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解题步骤 5.2.3.1

约去 $6 - 4 x$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (6 - 4 x) = - \frac{2 (3) - 4 x}{4} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (6 - 4 x) = - \frac{2 (3) + 2 (- 2 x)}{4} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.3

从 $2 (3) + 2 (- 2 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (6 - 4 x) = - \frac{2 (3 - 2 x)}{4} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.4

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (6 - 4 x) = - \frac{2 (3 - 2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.4.2

约去公因数。

$f^{- 1} (6 - 4 x) = - \frac{2 (3 - 2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.1.4.3

重写表达式。

$f^{- 1} (6 - 4 x) = - \frac{3 - 2 x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (6 - 4 x) = \frac{- (3 - 2 x) + 3}{2}$

解题步骤 5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1

运用分配律。

$f^{- 1} (6 - 4 x) = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 2 x) + 3}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (6 - 4 x) = \frac{- 3 - (- 2 x) + 3}{2}$

解题步骤 5.2.4.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (6 - 4 x) = \frac{- 3 + 2 x + 3}{2}$

解题步骤 5.2.5

化简项。

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解题步骤 5.2.5.1

合并 $- 3 + 2 x + 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.5.1.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f^{- 1} (6 - 4 x) = \frac{2 x + 0}{2}$

解题步骤 5.2.5.1.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (6 - 4 x) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (6 - 4 x) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.5.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (6 - 4 x) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2})$ 。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2}) = 6 - 4 (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2})$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

运用分配律。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2}) = 6 - 4 (- \frac{x}{4}) - 4 (\frac{3}{2})$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

将 $- \frac{x}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2}) = 6 - 4 \frac{- x}{4} - 4 (\frac{3}{2})$

解题步骤 5.3.3.2.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2}) = 6 + 4 (- 1) (\frac{- x}{4}) - 4 (\frac{3}{2})$

解题步骤 5.3.3.2.3

约去公因数。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2}) = 6 + 4 \cdot (- 1 \frac{- x}{4}) - 4 (\frac{3}{2})$

解题步骤 5.3.3.2.4

重写表达式。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2}) = 6 - 1 (- x) - 4 (\frac{3}{2})$

解题步骤 5.3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2}) = 6 + 1 x - 4 (\frac{3}{2})$

解题步骤 5.3.3.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2}) = 6 + x - 4 (\frac{3}{2})$

解题步骤 5.3.3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2}) = 6 + x + 2 (- 2) (\frac{3}{2})$

解题步骤 5.3.3.5.2

约去公因数。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2}) = 6 + x + 2 \cdot (- 2 (\frac{3}{2}))$

解题步骤 5.3.3.5.3

重写表达式。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2}) = 6 + x - 2 \cdot 3$

解题步骤 5.3.3.6

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2}) = 6 + x - 6$

解题步骤 5.3.4

合并 $6 + x - 6$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (- \frac{x}{4} + \frac{3}{2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{2}$ 为 $f (x) = 6 - 4 x$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{x}{4} + \frac{3}{2}$

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