微积分学示例

f (x) = 3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x

$f (x) = 3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x$

解题步骤 1

将

3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x

$3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x$ 设为等于

0

$0$ 。

3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x = 0

$3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x = 0$

解题步骤 2

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

从

3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x

$3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x$ 中分解出因数

x

$x$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从

3 x^{3}

$3 x^{3}$ 中分解出因数

x

$x$ 。

x (3 x^{2}) - 10 x^{2} + 3 x = 0

$x (3 x^{2}) - 10 x^{2} + 3 x = 0$

解题步骤 2.1.1.2

从

- 10 x^{2}

$- 10 x^{2}$ 中分解出因数

x

$x$ 。

x (3 x^{2}) + x (- 10 x) + 3 x = 0

$x (3 x^{2}) + x (- 10 x) + 3 x = 0$

解题步骤 2.1.1.3

从

3 x

$3 x$ 中分解出因数

x

$x$ 。

x (3 x^{2}) + x (- 10 x) + x \cdot 3 = 0

$x (3 x^{2}) + x (- 10 x) + x \cdot 3 = 0$

解题步骤 2.1.1.4

从

x (3 x^{2}) + x (- 10 x)

$x (3 x^{2}) + x (- 10 x)$ 中分解出因数

x

$x$ 。

x (3 x^{2} - 10 x) + x \cdot 3 = 0

$x (3 x^{2} - 10 x) + x \cdot 3 = 0$

解题步骤 2.1.1.5

从

x (3 x^{2} - 10 x) + x \cdot 3

$x (3 x^{2} - 10 x) + x \cdot 3$ 中分解出因数

x

$x$ 。

x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0

$x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0$

x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0

$x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0$

解题步骤 2.1.2

因数。

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解题步骤 2.1.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.2.1.1

对于

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为

a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9

$a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ 并且它们的和为

b = - 10

$b = - 10$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1.1

从

- 10 x

$- 10 x$ 中分解出因数

- 10

$- 10$ 。

x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0

$x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0$

解题步骤 2.1.2.1.1.2

把

- 10

$- 10$ 重写为

- 1

$- 1$ 加

- 9

$- 9$

x (3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3) = 0

$x (3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3) = 0$

解题步骤 2.1.2.1.1.3

运用分配律。

x (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3) = 0

$x (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3) = 0$

x (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3) = 0

$x (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3) = 0$

解题步骤 2.1.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

x ((3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3) = 0

$x ((3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3) = 0$

解题步骤 2.1.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

x (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1)) = 0

$x (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1)) = 0$

x (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1)) = 0

$x (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.2.1.3

通过因式分解出最大公因数

3 x - 1

$3 x - 1$ 来因式分解多项式。

x ((3 x - 1) (x - 3)) = 0

$x ((3 x - 1) (x - 3)) = 0$

x ((3 x - 1) (x - 3)) = 0

$x ((3 x - 1) (x - 3)) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

去掉多余的括号。

x (3 x - 1) (x - 3) = 0

$x (3 x - 1) (x - 3) = 0$

x (3 x - 1) (x - 3) = 0

$x (3 x - 1) (x - 3) = 0$

x (3 x - 1) (x - 3) = 0

$x (3 x - 1) (x - 3) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于

0

$0$ ，则整个表达式将等于

0

$0$ 。

x = 0

$x = 0$

3 x - 1 = 0

$3 x - 1 = 0$

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.3

将

x

$x$ 设为等于

0

$0$ 。

x = 0

$x = 0$

解题步骤 2.4

将

3 x - 1

$3 x - 1$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将

3 x - 1

$3 x - 1$ 设为等于

0

$0$ 。

3 x - 1 = 0

$3 x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解

x

$x$ 的

3 x - 1 = 0

$3 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

在等式两边都加上

1

$1$ 。

3 x = 1

$3 x = 1$

解题步骤 2.4.2.2

将

3 x = 1

$3 x = 1$ 中的每一项除以

3

$3$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将

3 x = 1

$3 x = 1$ 中的每一项都除以

3

$3$ 。

\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去

3

$3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x = \frac{1}{3}

$x = \frac{1}{3}$

x = \frac{1}{3}

$x = \frac{1}{3}$

x = \frac{1}{3}

$x = \frac{1}{3}$

x = \frac{1}{3}

$x = \frac{1}{3}$

x = \frac{1}{3}

$x = \frac{1}{3}$

x = \frac{1}{3}

$x = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.5

将

x - 3

$x - 3$ 设为等于

0

$0$ 并求解

x

$x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将

x - 3

$x - 3$ 设为等于

0

$0$ 。

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上

3

$3$ 。

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

解题步骤 2.6

最终解为使

x (3 x - 1) (x - 3) = 0

$x (3 x - 1) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

x = 0, \frac{1}{3}, 3

$x = 0, \frac{1}{3}, 3$

x = 0, \frac{1}{3}, 3

$x = 0, \frac{1}{3}, 3$

解题步骤 3

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