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微积分学示例

\int x {(x^{2} - 1)}^{6} d x

$\int x {(x^{2} - 1)}^{6} d x$

解题步骤 1

使

u = x^{2} - 1

$u = x^{2} - 1$ 。然后使

$d u = 2 x d x$ ，以便

$\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用

$u$ 和

$d$

$u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设

$u = x^{2} - 1$ 。求

$\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对

$x^{2} - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则，

$x^{2} - 1$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

因为

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 1$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将

$2 x$ 和

$0$ 相加。

$2 x$

$2 x$

解题步骤 1.2

使用

$u$ 和

$d u$ 重写该问题。

$\int u^{6} \frac{1}{2} d u$

$\int u^{6} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合

$u^{6}$ 和

$\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{u^{6}}{2} d u$

解题步骤 3

由于

$\frac{1}{2}$ 对于

$u$ 是常数，所以将

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int u^{6} d u$

解题步骤 4

根据幂法则，

$u^{6}$ 对

$u$ 的积分是

$\frac{1}{7} u^{7}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将

$\frac{1}{2} (\frac{1}{7} u^{7} + C)$ 重写为

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{1}{7}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 7} u^{7} + C$

解题步骤 5.2.2

将

$2$ 乘以

$7$ 。

$\frac{1}{14} u^{7} + C$

$\frac{1}{14} u^{7} + C$

$\frac{1}{14} u^{7} + C$

解题步骤 6

使用

$x^{2} - 1$ 替换所有出现的

$u$ 。

$\frac{1}{14} {(x^{2} - 1)}^{7} + C$

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$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$