微积分学示例

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} + x d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x d x$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

解题步骤 6.2

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 6.3.2

一的任意次幂都为一。

$2 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 6.3.3

在公分母上合并分子。

$2 \frac{8 - 1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 6.3.4

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$2 (\frac{7}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 6.3.5

组合 $2$ 和 $\frac{7}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 7}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 6.3.6

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{14}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 6.3.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{14}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 6.3.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{14}{3} + \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 6.3.9

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.9.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 6.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 6.3.9.2.2

约去公因数。

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 6.3.9.2.3

重写表达式。

$\frac{14}{3} + \frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 6.3.9.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{14}{3} + 2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 6.3.10

一的任意次幂都为一。

$\frac{14}{3} + 2 - \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 6.3.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{14}{3} + 2 - \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3.12

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{14}{3} + 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3.13

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3.14

在公分母上合并分子。

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 6.3.15

化简分子。

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解题步骤 6.3.15.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{14}{3} + \frac{4 - 1}{2}$

解题步骤 6.3.15.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{14}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 6.3.16

要将 $\frac{14}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{14}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 6.3.17

要将 $\frac{3}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{14}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 6.3.18

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 6.3.18.1

将 $\frac{14}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 6.3.18.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{14 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 6.3.18.3

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{14 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.3.18.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{14 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{6}$

解题步骤 6.3.19

在公分母上合并分子。

$\frac{14 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{6}$

解题步骤 6.3.20

化简分子。

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解题步骤 6.3.20.1

将 $14$ 乘以 $2$ 。

$\frac{28 + 3 \cdot 3}{6}$

解题步骤 6.3.20.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{28 + 9}{6}$

解题步骤 6.3.20.3

将 $28$ 和 $9$ 相加。

$\frac{37}{6}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{37}{6}$

小数形式：

$6.1\overline{6}$

带分数形式：

$6 \frac{1}{6}$

解题步骤 8

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