微积分学示例

x^{2} - 5 x + 3

$x^{2} - 5 x + 3$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1.1

对

x^{2} - 5 x + 3

$x^{2} - 5 x + 3$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1.1

使用

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ 的形式求

a

$a$ 、

b

$b$ 和

c

$c$ 的值。

a = 1

$a = 1$

b = - 5

$b = - 5$

c = 3

$c = 3$

解题步骤 1.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.1.3

使用公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 求

d

$d$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.3.1

将

a

$a$ 和

b

$b$ 的值代入公式

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ 。

d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

d = \frac{- 5}{2}

$d = \frac{- 5}{2}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

解题步骤 1.1.1.4

使用公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求

e

$e$ 的值。

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解题步骤 1.1.1.4.1

将

c

$c$ 、

b

$b$ 和

a

$a$ 的值代入公式

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

e = 3 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 3 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1.1

对

- 5

$- 5$ 进行

2

$2$ 次方运算。

e = 3 - \frac{25}{4 \cdot 1}

$e = 3 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.1.4.2.1.2

将

4

$4$ 乘以

1

$1$ 。

e = 3 - \frac{25}{4}

$e = 3 - \frac{25}{4}$

e = 3 - \frac{25}{4}

$e = 3 - \frac{25}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.2

要将

3

$3$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ 。

e = 3 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}

$e = 3 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.3

组合

3

$3$ 和

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ 。

e = \frac{3 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}

$e = \frac{3 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.4

在公分母上合并分子。

e = \frac{3 \cdot 4 - 25}{4}

$e = \frac{3 \cdot 4 - 25}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.4.2.5.1

将

3

$3$ 乘以

4

$4$ 。

e = \frac{12 - 25}{4}

$e = \frac{12 - 25}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.5.2

从

12

$12$ 中减去

25

$25$ 。

e = \frac{- 13}{4}

$e = \frac{- 13}{4}$

e = \frac{- 13}{4}

$e = \frac{- 13}{4}$

解题步骤 1.1.1.4.2.6

将负号移到分数的前面。

e = - \frac{13}{4}

$e = - \frac{13}{4}$

e = - \frac{13}{4}

$e = - \frac{13}{4}$

e = - \frac{13}{4}

$e = - \frac{13}{4}$

解题步骤 1.1.1.5

将

a

$a$ 、

d

$d$ 和

e

$e$ 的值代入顶点式

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$ 。

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

解题步骤 1.1.2

将

y

$y$ 设为等于右边新的值。

y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

解题步骤 1.2

使用顶点式

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求

a

$a$ 、

h

$h$ 和

k

$k$ 的值。

a = 1

$a = 1$

h = \frac{5}{2}

$h = \frac{5}{2}$

k = - \frac{13}{4}

$k = - \frac{13}{4}$

解题步骤 1.3

因为

a

$a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 1.4

求顶点

(h, k)

$(h, k)$ 。

(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})

$(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

解题步骤 1.5

求

p

$p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.5.2

将

a

$a$ 的值代入公式中。

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3

约去

1

$1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

约去公因数。

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2

重写表达式。

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

解题步骤 1.6

求焦点。

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解题步骤 1.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让

p

$p$ 加上 y 轴坐标

k

$k$ 求得抛物线的焦点。

(h, k + p)

$(h, k + p)$

解题步骤 1.6.2

将

h

$h$ 、

p

$p$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式并化简。

(\frac{5}{2}, - 3)

$(\frac{5}{2}, - 3)$

(\frac{5}{2}, - 3)

$(\frac{5}{2}, - 3)$

解题步骤 1.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

解题步骤 1.8

求准线。

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解题步骤 1.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标

k

$k$ 减去

p

$p$ 求得的水平线。

y = k - p

$y = k - p$

解题步骤 1.8.2

将

p

$p$ 和

k

$k$ 的已知值代入公式并化简。

y = - \frac{7}{2}

$y = - \frac{7}{2}$

y = - \frac{7}{2}

$y = - \frac{7}{2}$

解题步骤 1.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点：

(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})

$(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

焦点：

(\frac{5}{2}, - 3)

$(\frac{5}{2}, - 3)$

对称轴：

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

准线：

y = - \frac{7}{2}

$y = - \frac{7}{2}$

方向：开口向上

顶点：

(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})

$(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

焦点：

(\frac{5}{2}, - 3)

$(\frac{5}{2}, - 3)$

对称轴：

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

准线：

y = - \frac{7}{2}

$y = - \frac{7}{2}$

解题步骤 2

选取几个

x

$x$ 的值，将其代入方程以求对应的

y

$y$ 值，所选取的

x

$x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的

1

$1$ 替换变量

x

$x$ 。

f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 3

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 3$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

一的任意次幂都为一。

f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 3

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 3$

解题步骤 2.2.1.2

将

- 5

$- 5$ 乘以

1

$1$ 。

f (1) = 1 - 5 + 3

$f (1) = 1 - 5 + 3$

f (1) = 1 - 5 + 3

$f (1) = 1 - 5 + 3$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从

1

$1$ 中减去

5

$5$ 。

f (1) = - 4 + 3

$f (1) = - 4 + 3$

解题步骤 2.2.2.2

将

- 4

$- 4$ 和

3

$3$ 相加。

f (1) = - 1

$f (1) = - 1$

f (1) = - 1

$f (1) = - 1$

解题步骤 2.2.3

最终答案为

- 1

$- 1$ 。

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

解题步骤 2.3

y

$y$ 在

x = 1

$x = 1$ 处的值为

- 1

$- 1$ 。

y = - 1

$y = - 1$

解题步骤 2.4

使用表达式中的

0

$0$ 替换变量

x

$x$ 。

f (0) = {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 3

$f (0) = {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 3$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 3

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 3$

解题步骤 2.5.1.2

将

- 5

$- 5$ 乘以

0

$0$ 。

f (0) = 0 + 0 + 3

$f (0) = 0 + 0 + 3$

f (0) = 0 + 0 + 3

$f (0) = 0 + 0 + 3$

解题步骤 2.5.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将

0

$0$ 和

0

$0$ 相加。

f (0) = 0 + 3

$f (0) = 0 + 3$

解题步骤 2.5.2.2

将

0

$0$ 和

3

$3$ 相加。

f (0) = 3

$f (0) = 3$

f (0) = 3

$f (0) = 3$

解题步骤 2.5.3

最终答案为

3

$3$ 。

3

$3$

3

$3$

解题步骤 2.6

y

$y$ 在

x = 0

$x = 0$ 处的值为

3

$3$ 。

y = 3

$y = 3$

解题步骤 2.7

使用表达式中的

3

$3$ 替换变量

x

$x$ 。

f (3) = {(3)}^{2} - 5 \cdot 3 + 3

$f (3) = {(3)}^{2} - 5 \cdot 3 + 3$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

对

3

$3$ 进行

2

$2$ 次方运算。

f (3) = 9 - 5 \cdot 3 + 3

$f (3) = 9 - 5 \cdot 3 + 3$

解题步骤 2.8.1.2

将

- 5

$- 5$ 乘以

3

$3$ 。

f (3) = 9 - 15 + 3

$f (3) = 9 - 15 + 3$

f (3) = 9 - 15 + 3

$f (3) = 9 - 15 + 3$

解题步骤 2.8.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.8.2.1

从

9

$9$ 中减去

15

$15$ 。

f (3) = - 6 + 3

$f (3) = - 6 + 3$

解题步骤 2.8.2.2

将

- 6

$- 6$ 和

3

$3$ 相加。

f (3) = - 3

$f (3) = - 3$

f (3) = - 3

$f (3) = - 3$

解题步骤 2.8.3

最终答案为

- 3

$- 3$ 。

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

解题步骤 2.9

y

$y$ 在

x = 3

$x = 3$ 处的值为

- 3

$- 3$ 。

y = - 3

$y = - 3$

解题步骤 2.10

使用表达式中的

4

$4$ 替换变量

x

$x$ 。

f (4) = {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 + 3

$f (4) = {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 + 3$

解题步骤 2.11

化简结果。

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解题步骤 2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.1.1

对

4

$4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

f (4) = 16 - 5 \cdot 4 + 3

$f (4) = 16 - 5 \cdot 4 + 3$

解题步骤 2.11.1.2

将

- 5

$- 5$ 乘以

4

$4$ 。

f (4) = 16 - 20 + 3

$f (4) = 16 - 20 + 3$

f (4) = 16 - 20 + 3

$f (4) = 16 - 20 + 3$

解题步骤 2.11.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.11.2.1

从

16

$16$ 中减去

20

$20$ 。

f (4) = - 4 + 3

$f (4) = - 4 + 3$

解题步骤 2.11.2.2

将

- 4

$- 4$ 和

3

$3$ 相加。

f (4) = - 1

$f (4) = - 1$

f (4) = - 1

$f (4) = - 1$

解题步骤 2.11.3

最终答案为

- 1

$- 1$ 。

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

解题步骤 2.12

y

$y$ 在

x = 4

$x = 4$ 处的值为

- 1

$- 1$ 。

y = - 1

$y = - 1$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}$

\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向上

顶点：

(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})

$(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

焦点：

(\frac{5}{2}, - 3)

$(\frac{5}{2}, - 3)$

对称轴：

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

准线：

y = - \frac{7}{2}

$y = - \frac{7}{2}$

\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}$

解题步骤 4

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