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微积分学示例

f (x) = - \frac{1}{x}

$f (x) = - \frac{1}{x}$

解题步骤 1

判断函数是否为奇、偶或两者皆非，从而找出其对称性。

1. 如果为奇函数，则关于原点对称。

2. 如果为偶函数，则关于 y 轴对称。

解题步骤 2

求

f (- x)

$f (- x)$ 。

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解题步骤 2.1

通过代入

- x

$- x$ 替换

f (x)

$f (x)$ 中所有出现的

x

$x$ 来求

f (- x)

$f (- x)$ 。

f (- x) = - \frac{1}{- x}

$f (- x) = - \frac{1}{- x}$

解题步骤 2.2

约去

1

$1$ 和

- 1

$- 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

将

1

$1$ 重写为

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ 。

f (- x) = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- x}

$f (- x) = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- x}$

解题步骤 2.2.2

将负号移到分数的前面。

f (- x) = \frac{1}{x}

$f (- x) = \frac{1}{x}$

f (- x) = \frac{1}{x}

$f (- x) = \frac{1}{x}$

f (- x) = \frac{1}{x}

$f (- x) = \frac{1}{x}$

解题步骤 3

如果一个函数满足

f (- x) = f (x)

$f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 3.1

判断

f (- x) = f (x)

$f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 3.2

因为

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$

\neq

$\neq$

- \frac{1}{x}

$- \frac{1}{x}$ ，所以该函数不是偶函数。

该函数不是偶函数

该函数不是偶函数

解题步骤 4

如果一个函数满足

f (- x) = - f (x)

$f (- x) = - f (x)$ ，那么它是一个奇函数。

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解题步骤 4.1

乘以

- (- \frac{1}{x})

$- (- \frac{1}{x})$ 。

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解题步骤 4.1.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

- f (x) = 1 (\frac{1}{x})

$- f (x) = 1 (\frac{1}{x})$

解题步骤 4.1.2

将

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 乘以

1

$1$ 。

- f (x) = \frac{1}{x}

$- f (x) = \frac{1}{x}$

- f (x) = \frac{1}{x}

$- f (x) = \frac{1}{x}$

解题步骤 4.2

因为

\frac{1}{x} = \frac{1}{x}

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ ，所以该函数是奇函数。

该函数是奇函数

该函数是奇函数

解题步骤 5

因为函数不是奇函数，所以没有关于原点对称。

原点对称

解题步骤 6

因为函数不是偶函数，所以没有关于 y 轴对称。

不存在 y 轴对称

解题步骤 7

确定函数的对称性。

原点对称

解题步骤 8

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[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$