微积分学示例

$f (x) = x^{7} - x^{3} - 9 x^{3}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{7} - x^{3} - 9 x^{3} d x$

解题步骤 3

从 $- x^{3}$ 中减去 $9 x^{3}$ 。

$\int x^{7} - 10 x^{3} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{7} d x + \int - 10 x^{3} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{7}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{8} x^{8}$ 。

$\frac{1}{8} x^{8} + C + \int - 10 x^{3} d x$

解题步骤 6

由于 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 10$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} x^{8} + C - 10 \int x^{3} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{8} x^{8} + C - 10 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$\frac{1}{8} x^{8} - 10 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{8} x^{8} + \frac{- 10}{4} x^{4} + C$

解题步骤 8.2.2

约去 $- 10$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{8} x^{8} + \frac{2 (- 5)}{4} x^{4} + C$

解题步骤 8.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{8} x^{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

解题步骤 8.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{8} x^{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

解题步骤 8.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{8} x^{8} + \frac{- 5}{2} x^{4} + C$

解题步骤 8.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{8} x^{8} - \frac{5}{2} x^{4} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = x^{7} - x^{3} - 9 x^{3}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x^{8} - \frac{5}{2} x^{4} + C$

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