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微积分学示例

f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}

$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 1

通过计算导数

f (x)

$f (x)$ 的不定积分求函数

F (x)

$F (x)$ 。

F (x) = \int f (x) d x

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

F (x) = \int 2 {(x - 1)}^{2} d x

$F (x) = \int 2 {(x - 1)}^{2} d x$

解题步骤 3

由于

2

$2$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

2

$2$ 移到积分外。

2 \int {(x - 1)}^{2} d x

$2 \int {(x - 1)}^{2} d x$

解题步骤 4

使

u = x - 1

$u = x - 1$ 。然后使

d u = d x

$d u = d x$ 。使用

u

$u$ 和

d

$d$

u

$u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

设

u = x - 1

$u = x - 1$ 。求

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

对

x - 1

$x - 1$ 求导。

\frac{d}{d x} [x - 1]

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则，

x - 1

$x - 1$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

1 + \frac{d}{d x} [- 1]

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.4

因为

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- 1

$- 1$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

1 + 0

$1 + 0$

解题步骤 4.1.5

将

1

$1$ 和

0

$0$ 相加。

1

$1$

1

$1$

解题步骤 4.2

使用

u

$u$ 和

d u

$d u$ 重写该问题。

2 \int u^{2} d u

$2 \int u^{2} d u$

2 \int u^{2} d u

$2 \int u^{2} d u$

解题步骤 5

根据幂法则，

u^{2}

$u^{2}$ 对

u

$u$ 的积分是

\frac{1}{3} u^{3}

$\frac{1}{3} u^{3}$ 。

2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)

$2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将

2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)

$2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ 重写为

2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C

$2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ 。

2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C

$2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

解题步骤 6.2

组合

2

$2$ 和

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 。

\frac{2}{3} u^{3} + C

$\frac{2}{3} u^{3} + C$

\frac{2}{3} u^{3} + C

$\frac{2}{3} u^{3} + C$

解题步骤 7

使用

x - 1

$x - 1$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

\frac{2}{3} {(x - 1)}^{3} + C

$\frac{2}{3} {(x - 1)}^{3} + C$

解题步骤 8

答案是函数

f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}

$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ 的不定积分。

F (x) =

$F (x) =$

\frac{2}{3} {(x - 1)}^{3} + C

$\frac{2}{3} {(x - 1)}^{3} + C$

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[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$