微积分学示例

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$

解题步骤 1

通过计算导数

$f (x)$ 的不定积分求函数

$F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{4} + 2 x^{2} - 8 x d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x + \int - 8 x d x$

解题步骤 4

根据幂法则，

$x^{4}$ 对

$x$ 的积分是

$\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 2 x^{2} d x + \int - 8 x d x$

解题步骤 5

由于

$2$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$2$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{2} d x + \int - 8 x d x$

解题步骤 6

根据幂法则，

$x^{2}$ 对

$x$ 的积分是

$\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 x d x$

解题步骤 7

由于

$- 8$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$- 8$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 \int x d x$

解题步骤 8

根据幂法则，

$x$ 对

$x$ 的积分是

$\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} - 8 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$x^{2}$ 。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} - 8 \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 9.2.2

组合

$- 8$ 和

$\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 8 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 9.2.3

约去

$- 8$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.1

从

$- 8 x^{2}$ 中分解出因数

$2$ 。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2 (- 4 x^{2})}{2} + C$

解题步骤 9.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.2.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2 (- 4 x^{2})}{2 (1)} + C$

解题步骤 9.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2 (- 4 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

解题步骤 9.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{1} + C$

解题步骤 9.2.3.2.4

用

$- 4 x^{2}$ 除以

$1$ 。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} - 4 x^{2} + C$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} - 4 x^{2} + C$

解题步骤 10

答案是函数

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$ 的不定积分。

$F (x) =$

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} - 4 x^{2} + C$

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