微积分学示例

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 5 (x + h) - 4$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 5 (x + h) - 4$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 5 (x + h) - 4$

解题步骤 2.1.2.1.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 5 (x + h) - 4$

解题步骤 2.1.2.1.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 5 (x + h) - 4$

解题步骤 2.1.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 5 (x + h) - 4$

解题步骤 2.1.2.1.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4$

解题步骤 2.1.2.1.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4$

解题步骤 2.1.2.1.4

运用分配律。

$f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 5 (x + h) - 4$

解题步骤 2.1.2.1.5

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 5 (x + h) - 4$

解题步骤 2.1.2.1.6

运用分配律。

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 x + 5 h - 4$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 x + 5 h - 4$ 。

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 x + 5 h - 4$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $5 x$ 。

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 h + 5 x - 4$

解题步骤 2.2.2

移动 $7 x^{2}$ 。

$14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

解题步骤 2.2.3

将 $14 h x$ 和 $7 h^{2}$ 重新排序。

$7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - (7 x^{2} + 5 x - 4)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - (7 x^{2}) - (5 x) - - 4}{h}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - 7 x^{2} - (5 x) - - 4}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - 7 x^{2} - 5 x - - 4}{h}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - 7 x^{2} - 5 x + 4}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $7 x^{2}$ 中减去 $7 x^{2}$ 。

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 5 x - 4 + 0 - 5 x + 4}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $7 h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 5 x - 4 - 5 x + 4}{h}$

解题步骤 4.1.5

从 $5 x$ 中减去 $5 x$ 。

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 0 - 4 + 4}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $7 h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h - 4 + 4}{h}$

解题步骤 4.1.7

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.8

将 $7 h^{2} + 14 h x + 5 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h}{h}$

解题步骤 4.1.9

从 $7 h^{2} + 14 h x + 5 h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.9.1

从 $7 h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (7 h) + 14 h x + 5 h}{h}$

解题步骤 4.1.9.2

从 $14 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (7 h) + h (14 x) + 5 h}{h}$

解题步骤 4.1.9.3

从 $5 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 5}{h}$

解题步骤 4.1.9.4

从 $h (7 h) + h (14 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (7 h + 14 x) + h \cdot 5}{h}$

解题步骤 4.1.9.5

从 $h (7 h + 14 x) + h \cdot 5$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (7 h + 14 x + 5)}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (7 h + 14 x + 5)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $7 h + 14 x + 5$ 除以 $1$ 。

$7 h + 14 x + 5$

解题步骤 4.2.2

将 $7 h$ 和 $14 x$ 重新排序。

$14 x + 7 h + 5$

解题步骤 5

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