微积分学示例

f (x) = x^{2} + 3 x

$f (x) = x^{2} + 3 x$

解题步骤 1

考虑差商公式。

\frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在

x = x + h

$x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的

x + h

$x + h$ 替换变量

x

$x$ 。

f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将

{(x + h)}^{2}

${(x + h)}^{2}$ 重写为

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ 。

f (x + h) = (x + h) (x + h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用 FOIL 方法展开

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.2.1

运用分配律。

f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.2.2

运用分配律。

f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.2.3

运用分配律。

f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)$

f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1.1

将

x

$x$ 乘以

x

$x$ 。

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.3.1.2

将

h

$h$ 乘以

h

$h$ 。

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h)$

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

将

x h

$x h$ 和

h x

$h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.3.2.1

将

x

$x$ 和

h

$h$ 重新排序。

f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.3.2.2

将

h x

$h x$ 和

h x

$h x$ 相加。

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.4

运用分配律。

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h$ 。

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动

3 x

$3 x$ 。

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 3 x

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 3 x$

解题步骤 2.2.2

移动

x^{2}

$x^{2}$ 。

2 h x + h^{2} + x^{2} + 3 h + 3 x

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 3 h + 3 x$

解题步骤 2.2.3

将

2 h x

$2 h x$ 和

h^{2}

$h^{2}$ 重新排序。

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x$

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x$

f (x) = x^{2} + 3 x

$f (x) = x^{2} + 3 x$

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x$

f (x) = x^{2} + 3 x

$f (x) = x^{2} + 3 x$

解题步骤 3

插入分量。

\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x - (x^{2} + 3 x)}{h}

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x - (x^{2} + 3 x)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x - x^{2} - (3 x)}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x - x^{2} - (3 x)}{h}$

解题步骤 4.1.2

将

3

$3$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x - x^{2} - 3 x}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x - x^{2} - 3 x}{h}$

解题步骤 4.1.3

从

x^{2}

$x^{2}$ 中减去

x^{2}

$x^{2}$ 。

\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

解题步骤 4.1.4

将

h^{2}

$h^{2}$ 和

0

$0$ 相加。

\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

解题步骤 4.1.5

从

3 x

$3 x$ 中减去

3 x

$3 x$ 。

\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.6

将

h^{2} + 2 h x + 3 h

$h^{2} + 2 h x + 3 h$ 和

0

$0$ 相加。

\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h}{h}$

解题步骤 4.1.7

从

h^{2} + 2 h x + 3 h

$h^{2} + 2 h x + 3 h$ 中分解出因数

h

$h$ 。

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解题步骤 4.1.7.1

从

h^{2}

$h^{2}$ 中分解出因数

h

$h$ 。

\frac{h \cdot h + 2 h x + 3 h}{h}

$\frac{h \cdot h + 2 h x + 3 h}{h}$

解题步骤 4.1.7.2

从

2 h x

$2 h x$ 中分解出因数

h

$h$ 。

\frac{h (h) + h (2 x) + 3 h}{h}

$\frac{h (h) + h (2 x) + 3 h}{h}$

解题步骤 4.1.7.3

从

3 h

$3 h$ 中分解出因数

h

$h$ 。

\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 3}{h}

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 3}{h}$

解题步骤 4.1.7.4

从

h (h) + h (2 x)

$h (h) + h (2 x)$ 中分解出因数

h

$h$ 。

\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 3}{h}

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 3}{h}$

解题步骤 4.1.7.5

从

h (h + 2 x) + h \cdot 3

$h (h + 2 x) + h \cdot 3$ 中分解出因数

h

$h$ 。

\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}

$\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}

$\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}

$\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去

h

$h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用

$h + 2 x + 3$ 除以

$1$ 。

$h + 2 x + 3$

解题步骤 4.2.2

将

$h$ 和

$2 x$ 重新排序。

$2 x + h + 3$

解题步骤 5

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