微积分学示例

$y = 3 x^{3} + x + 3$ , $(1, 7)$

解题步骤 1

将 $y = 3 x^{3} + x + 3$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

解题步骤 2

判断给定点是否在给定函数的图像上。

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解题步骤 2.1

计算 $f (x) = 3 x^{3} + x + 3$ 在 $x = 1$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

解题步骤 2.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 3 \cdot 1 + 1 + 3$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 3 + 1 + 3$

解题步骤 2.1.2.3

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = 4 + 3$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$f (1) = 7$

解题步骤 2.1.2.4

最终答案为 $7$ 。

$7$

解题步骤 2.2

由于 $7 = 7$ ，所以这个点在图像上。

该点在图像上

解题步骤 3

切线的斜率为表达式的导数。

$m$ $=$ $f (x) = 3 x^{3} + x + 3$ 的导数

解题步骤 4

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 5

求定义的补集。

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解题步骤 5.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 5.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

解题步骤 5.1.2

化简结果。

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解题步骤 5.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

解题步骤 5.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.2.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = 3 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + x + h + 3$

解题步骤 5.1.2.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = 3 x^{3} + 3 (3 x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

解题步骤 5.1.2.2.3

化简。

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解题步骤 5.1.2.2.3.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

解题步骤 5.1.2.2.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 9 (x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

解题步骤 5.1.2.2.4

去掉圆括号。

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

解题步骤 5.1.2.3

最终答案为 $3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$ 。

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

解题步骤 5.2

重新排序。

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解题步骤 5.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

解题步骤 5.2.2

移动 $x$ 。

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + x + h + 3$

解题步骤 5.2.3

移动 $x$ 。

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + h + x + 3$

解题步骤 5.2.4

移动 $3 x^{3}$ 。

$9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + 3 x^{3} + h + x + 3$

解题步骤 5.2.5

移动 $9 h x^{2}$ 。

$9 h^{2} x + 3 h^{3} + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

解题步骤 5.2.6

将 $9 h^{2} x$ 和 $3 h^{3}$ 重新排序。

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

解题步骤 5.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

解题步骤 6

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3} + x + 3)}{h}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3}) - x - 1 \cdot 3}{h}$

解题步骤 7.1.2

化简。

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解题步骤 7.1.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 1 \cdot 3}{h}$

解题步骤 7.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 3}{h}$

解题步骤 7.1.3

从 $3 x^{3}$ 中减去 $3 x^{3}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 + 0 - x - 3}{h}$

解题步骤 7.1.4

将 $3 h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 - x - 3}{h}$

解题步骤 7.1.5

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0 + 3 - 3}{h}$

解题步骤 7.1.6

将 $3 h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 3 - 3}{h}$

解题步骤 7.1.7

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0}{h}$

解题步骤 7.1.8

将 $3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

解题步骤 7.1.9

从 $3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 7.1.9.1

从 $3 h^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

解题步骤 7.1.9.2

从 $9 h^{2} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + 9 h x^{2} + h}{h}$

解题步骤 7.1.9.3

从 $9 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

解题步骤 7.1.9.4

对 $h$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

解题步骤 7.1.9.5

从 $h^{1}$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

解题步骤 7.1.9.6

从 $h (3 h^{2}) + h (9 h x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

解题步骤 7.1.9.7

从 $h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

解题步骤 7.1.9.8

从 $h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

解题步骤 7.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 7.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$

解题步骤 7.2.2

化简表达式。

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解题步骤 7.2.2.1

移动 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 x h + 9 x^{2} + 1$

解题步骤 7.2.2.2

移动 $3 h^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x h + 9 x^{2} + 3 h^{2} + 1$

解题步骤 7.2.2.3

将 $9 x h$ 和 $9 x^{2}$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2} + 1$

解题步骤 8

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{h \to 0} 9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

解题步骤 9

计算 $9 x^{2}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

解题步骤 10

因为项 $9 x$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

解题步骤 11

因为项 $3$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

解题步骤 12

使用极限幂法则把 $h^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1$

解题步骤 13

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

解题步骤 14

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

解题步骤 14.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

乘以 $9 x \cdot 0$ 。

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解题步骤 15.1.1.1

将 $0$ 乘以 $9$ 。

$9 x^{2} + 0 x + 3 \cdot 0^{2} + 1$

解题步骤 15.1.1.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

解题步骤 15.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0 + 1$

解题步骤 15.1.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$

解题步骤 15.2

合并 $9 x^{2} + 0 + 0 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 15.2.1

将 $9 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$9 x^{2} + 0 + 1$

解题步骤 15.2.2

将 $9 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$9 x^{2} + 1$

解题步骤 16

求斜率 $m$ 。在本例中，即 $m = 10$ 。

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解题步骤 16.1

去掉圆括号。

$m = 9 \cdot 1^{2} + 1$

解题步骤 16.2

化简 $9 \cdot 1^{2} + 1$ 。

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解题步骤 16.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$m = 9 \cdot 1 + 1$

解题步骤 16.2.1.2

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$m = 9 + 1$

解题步骤 16.2.2

将 $9$ 和 $1$ 相加。

$m = 10$

解题步骤 17

斜率为 $m = 10$ ，该点是 $(1, 7)$ 。

$m = 10, (1, 7)$

解题步骤 18

使用直线方程的公式求 $b$ 的值。

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解题步骤 18.1

使用直线方程的公式求 $b$ 。

$y = m x + b$

解题步骤 18.2

将 $m$ 的值代入方程中。

$y = (10) \cdot x + b$

解题步骤 18.3

将 $x$ 的值代入方程中。

$y = (10) \cdot (1) + b$

解题步骤 18.4

将 $y$ 的值代入方程中。

$7 = (10) \cdot (1) + b$

解题步骤 18.5

求 $b$ 的值。

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解题步骤 18.5.1

将方程重写为 $(10) \cdot (1) + b = 7$ 。

$(10) \cdot (1) + b = 7$

解题步骤 18.5.2

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$10 + b = 7$

解题步骤 18.5.3

将所有不包含 $b$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 18.5.3.1

从等式两边同时减去 $10$ 。

$b = 7 - 10$

解题步骤 18.5.3.2

从 $7$ 中减去 $10$ 。

$b = - 3$

解题步骤 19

现在已知 $m$ （斜率）和 $b$ （y 轴截距）的值，将其代入 $y = m x + b$ 以求直线方程。

$y = 10 x - 3$

解题步骤 20

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