微积分学示例

y' + y'' = 6 e^{2 x}

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$ ,

y = e^{2 x}

$y = e^{2 x}$

解题步骤 1

求

y'

$y'$ 。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

解题步骤 1.2

y

$y$ 对

x

$x$ 的导数为

y'

$y'$ 。

y'

$y'$

解题步骤 1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ 且

g (x) = 2 x

$g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

要使用链式法则，请将

u

$u$ 设为

2 x

$2 x$ 。

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ ，其中

a

$a$ =

e

$e$ 。

e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.1.3

使用

2 x

$2 x$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3.2

求微分。

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解题步骤 1.3.2.1

因为

2

$2$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

2 x

$2 x$ 对

x

$x$ 的导数是

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

e^{2 x} (2 \cdot 1)

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

解题步骤 1.3.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.2.3.1

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

e^{2 x} \cdot 2

$e^{2 x} \cdot 2$

解题步骤 1.3.2.3.2

将

2

$2$ 移到

e^{2 x}

$e^{2 x}$ 的左侧。

2 e^{2 x}

$2 e^{2 x}$

2 e^{2 x}

$2 e^{2 x}$

2 e^{2 x}

$2 e^{2 x}$

2 e^{2 x}

$2 e^{2 x}$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

y' = 2 e^{2 x}

$y' = 2 e^{2 x}$

y' = 2 e^{2 x}

$y' = 2 e^{2 x}$

解题步骤 2

求

y''

$y''$ 。

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解题步骤 2.1

建立导数。

y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 2.2

因为

2

$2$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

2 e^{2 x}

$2 e^{2 x}$ 对

x

$x$ 的导数是

2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ 且

g (x) = 2 x

$g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将

u

$u$ 设为

2 x

$2 x$ 。

y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ ，其中

a

$a$ =

e

$e$ 。

y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.3.3

使用

2 x

$2 x$ 替换所有出现的

u

$u$ 。

y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 2.4

去掉圆括号。

y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.5

因为

2

$2$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

2 x

$2 x$ 对

x

$x$ 的导数是

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.6

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

解题步骤 2.8

将

4

$4$ 乘以

1

$1$ 。

y'' = 4 e^{2 x}

$y'' = 4 e^{2 x}$

y'' = 4 e^{2 x}

$y'' = 4 e^{2 x}$

解题步骤 3

代入给定的微分方程。

2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}

$2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

解题步骤 4

将

2 e^{2 x}

$2 e^{2 x}$ 和

4 e^{2 x}

$4 e^{2 x}$ 相加。

6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}

$6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

解题步骤 5

给定的解满足给定微分方程。

y = e^{2 x}

$y = e^{2 x}$ 是

y' + y'' = 6 e^{2 x}

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$ 的解

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