微积分学示例

$y' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

解题步骤 1

求 $y'$ 。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

解题步骤 1.2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{- 2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 x$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 1.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 1.3.3

求微分。

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解题步骤 1.3.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3.2

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

解题步骤 1.3.3.4

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$- 6 e^{- 2 x}$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

解题步骤 2

代入给定的微分方程。

$- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

解题步骤 3.2

将 $- 6 e^{- 2 x}$ 和 $6 e^{- 2 x}$ 相加。

$0 = 0$

解题步骤 4

给定的解满足给定微分方程。

$y = 3 e^{- 2 x}$ 是 $y' + 2 y = 0$ 的解

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