微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}$ , $(1, 1)$

解题步骤 1

假设 $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ 。

解题步骤 2

检查函数在 $(1, 1)$ 的邻域是否连续。

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解题步骤 2.1

将 $(1, 1)$ 值代入 $\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$2 \cdot 1^{2} y^{2}$

解题步骤 2.1.2

代入 $1$ 替换 $y$ 。

$2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 2.2

因为不存在自变量为负数或零的对数，不存在被开方数为零或负数的偶次方根，且不存在分母中有零的分数，所以函数在 $(1, 1)$ 的 $x$ 值附近的开区间上连续。

连续

解题步骤 3

求对 $y$ 的偏导数。

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解题步骤 3.1

建立偏导数。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{2}]$

解题步骤 3.2

因为 $2 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x^{2} y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} (2 y)$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y$

解题步骤 4

检查对 $y$ 的偏导数在 $(1, 1)$ 的邻域是否连续。

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解题步骤 4.1

代入 $1$ 替换 $y$ 。

$4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.2

因为不存在自变量为负数或零的对数，不存在被开方数为零或负数的偶次方根，且不存在分母中有零的分数，所以函数在 $(1, 1)$ 的 $y$ 值附近的开区间上连续。

连续

解题步骤 5

函数及其对 $y$ 的偏导数在 $(1, 1)$ 的 $x$ 值附近的开区间上连续。

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