微积分学示例

\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}$ ,

(1, 1)

$(1, 1)$

解题步骤 1

假设

\frac{d y}{d x} = f (x, y)

$\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ 。

解题步骤 2

检查函数在

(1, 1)

$(1, 1)$ 的邻域是否连续。

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解题步骤 2.1

将

(1, 1)

$(1, 1)$ 值代入

\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1

代入

1

$1$ 替换

x

$x$ 。

2 \cdot 1^{2} y^{2}

$2 \cdot 1^{2} y^{2}$

解题步骤 2.1.2

代入

1

$1$ 替换

y

$y$ 。

2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}

$2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}$

2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}

$2 \cdot 1^{2} \cdot 1^{2}$

解题步骤 2.2

因为不存在自变量为负数或零的对数，不存在被开方数为零或负数的偶次方根，且不存在分母中有零的分数，所以函数在

(1, 1)

$(1, 1)$ 的

x

$x$ 值附近的开区间上连续。

连续

解题步骤 3

求对

y

$y$ 的偏导数。

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解题步骤 3.1

建立偏导数。

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{2}]

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{2}]$

解题步骤 3.2

因为

2 x^{2}

$2 x^{2}$ 对于

y

$y$ 是常数，所以

2 x^{2} y^{2}

$2 x^{2} y^{2}$ 对

y

$y$ 的导数是

2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} (2 y)

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} (2 y)$

解题步骤 3.4

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y$

\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4 x^{2} y$

解题步骤 4

检查对

y

$y$ 的偏导数在

(1, 1)

$(1, 1)$ 的邻域是否连续。

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解题步骤 4.1

代入

1

$1$ 替换

y

$y$ 。

4 x^{2} \cdot 1

$4 x^{2} \cdot 1$

解题步骤 4.2

因为不存在自变量为负数或零的对数，不存在被开方数为零或负数的偶次方根，且不存在分母中有零的分数，所以函数在

(1, 1)

$(1, 1)$ 的

y

$y$ 值附近的开区间上连续。

连续

解题步骤 5

函数及其对

y

$y$ 的偏导数在

(1, 1)

$(1, 1)$ 的

x

$x$ 值附近的开区间上连续。

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