微积分学示例

\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 x

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 x$

解题步骤 1

积分因数由公式

e^{\int P (x) d x}

$e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中

P (x) = - \frac{1}{x}

$P (x) = - \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

e^{\int - \frac{1}{x} d x}

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 1.2

对

- \frac{1}{x}

$- \frac{1}{x}$ 积分。

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解题步骤 1.2.1

由于

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

- 1

$- 1$ 移到积分外。

e^{- \int \frac{1}{x} d x}

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 1.2.2

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 对

x

$x$ 的积分为

ln (| x |)

$\ln (| x |)$ 。

e^{- (ln (| x |) + C)}

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 1.2.3

化简。

e^{- ln (| x |) + C}

$e^{- \ln (| x |) + C}$

e^{- ln (| x |) + C}

$e^{- \ln (| x |) + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

e^{- ln (x)}

$e^{- \ln (x)}$

解题步骤 1.4

使用对数幂法则。

e^{ln (x^{- 1})}

$e^{\ln (x^{- 1})}$

解题步骤 1.5

指数函数和对数函数互为反函数。

x^{- 1}

$x^{- 1}$

解题步骤 1.6

使用负指数规则

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 。

\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

组合

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 和

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ 。

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

解题步骤 2.2.2

使用乘法的交换性质重写。

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

解题步骤 2.2.3

组合

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 和

y

$y$ 。

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (2 x)$

解题步骤 2.2.4

乘以

- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将

\frac{y}{x}

$\frac{y}{x}$ 乘以

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 。

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x)$

解题步骤 2.2.4.2

对

x

$x$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x)$

解题步骤 2.2.4.3

对

x

$x$ 进行

1

$1$ 次方运算。

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x)$

解题步骤 2.2.4.4

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x)$

解题步骤 2.2.4.5

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)$

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)$

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)$

解题步骤 2.3

使用乘法的交换性质重写。

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x$

解题步骤 2.4

组合

2

$2$ 和

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 。

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} x

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} x$

解题步骤 2.5

约去

x

$x$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} x$

解题步骤 2.5.2

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = 2$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int 2 d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$\frac{1}{x} y = \int 2 d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{x} y = 2 x + C$

解题步骤 7

求解

$y$ 。

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解题步骤 7.1

组合

$\frac{1}{x}$ 和

$y$ 。

$\frac{y}{x} = 2 x + C$

解题步骤 7.2

两边同时乘以

$x$ 。

$\frac{y}{x} x = (2 x + C) x$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

化简左边。

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解题步骤 7.3.1.1

约去

$x$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = (2 x + C) x$

解题步骤 7.3.1.1.2

重写表达式。

$y = (2 x + C) x$

解题步骤 7.3.2

化简右边。

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解题步骤 7.3.2.1

化简

$(2 x + C) x$ 。

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解题步骤 7.3.2.1.1

运用分配律。

$y = 2 x \cdot x + C x$

解题步骤 7.3.2.1.2

通过指数相加将

$x$ 乘以

$x$ 。

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解题步骤 7.3.2.1.2.1

移动

$x$ 。

$y = 2 (x \cdot x) + C x$

解题步骤 7.3.2.1.2.2

将

$x$ 乘以

$x$ 。

$y = 2 x^{2} + C x$

解题步骤 7.3.2.1.3

将

$2 x^{2}$ 和

$C x$ 重新排序。

$y = C x + 2 x^{2}$

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