微积分学示例

$\frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

解题步骤 1

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立积分。

$e^{\int d x}$

解题步骤 1.2

应用常数不变法则。

$e^{x + C}$

解题步骤 1.3

去掉积分常数。

$e^{x}$

解题步骤 2

每一项乘以积分因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.1

每一项乘以 $e^{x}$ 。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{x}$

解题步骤 2.2

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + x}$

解题步骤 2.2.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$

解题步骤 2.3

将 $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$ 中的因式重新排序。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}$

解题步骤 3

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{2 x}$

解题步骤 4

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{2 x} d x$

解题步骤 5

对左边积分。

$e^{x} y = \int e^{2 x} d x$

解题步骤 6

对右边积分。

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解题步骤 6.1

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 6.1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 6.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{x} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 6.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

解题步骤 6.4

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{x} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

解题步骤 6.5

化简。

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

解题步骤 6.6

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

解题步骤 7

将 $e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ 中的每一项除以 $e^{x}$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

约去 $e^{2 x}$ 和 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.1

从 $\frac{1}{2} e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.1.2.4

用 $\frac{1}{2} e^{x}$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7.3.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{x}$ 。

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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