微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{\sqrt{x y}}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{y}{x}$ 的函数。

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解题步骤 1.1

假设 $\sqrt{y^{2}} = y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

解题步骤 1.2

把 $\sqrt{y^{2}}$ 和 $\sqrt{x y}$ 组合为一个单根式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x y}}$

解题步骤 1.3

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{y^{2}}{x y}$ 。

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解题步骤 1.3.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{x y}}$

解题步骤 1.3.2

从 $x y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

解题步骤 1.3.3

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

解题步骤 1.3.4

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

解题步骤 2

设 $V = \frac{y}{x}$ 。将 $V$ 代入 $\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}$

解题步骤 3

求解 $y$ 的 $V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求 $y = V x$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入 $x \frac{d V}{d x} + V$ 替换 $\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

分离变量。

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解题步骤 6.1.1

求解 $\frac{d V}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

将所有不包含 $\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从等式两边同时减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V$

解题步骤 6.1.1.1.2

合并 $V + \sqrt{V} - V$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.1.2.1

从 $V$ 中减去 $V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}$

解题步骤 6.1.1.1.2.2

将 $0$ 和 $\sqrt{V}$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

解题步骤 6.1.1.2

将 $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.1.1.2.1

将 $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2.1.2

用 $\frac{d V}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

解题步骤 6.1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{V}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

解题步骤 6.1.3

约去 $\sqrt{V}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

解题步骤 6.1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

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解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

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解题步骤 6.2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{V}$ 重写成 $V^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.2

通过将 $V^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.3

将 ${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

根据幂法则， $V^{- \frac{1}{2}}$ 对 $V$ 的积分是 $2 V^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

求解 $V$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1.1

将 $2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 6.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 6.3.1.2.2

用 $V^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 6.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.3.1.1

将 $\frac{\ln (| x |)}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ 。

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

解题步骤 6.3.1.3.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ 。

$V^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

解题步骤 6.3.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 6.3.3

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.1

化简 ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.3.1.1

将 ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 6.3.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 6.3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$V^{1} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 6.3.3.1.2

化简。

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 6.4

化简积分常数。

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

解题步骤 7

代入 $\frac{y}{x}$ 替换 $V$ 。

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

解题步骤 8

求解 $y$ 的 $\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$ 。

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解题步骤 8.1

两边同时乘以 $x$ 。

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$y = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

将 ${(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$ 中的因式重新排序。

$y = x {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

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