微积分学示例

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{\sqrt{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{\sqrt{x y}}$

解题步骤 1

将微分方程重写为

\frac{y}{x}

$\frac{y}{x}$ 的函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

假设

\sqrt{y^{2}} = y

$\sqrt{y^{2}} = y$ 。

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

解题步骤 1.2

把

\sqrt{y^{2}}

$\sqrt{y^{2}}$ 和

\sqrt{x y}

$\sqrt{x y}$ 组合为一个单根式。

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x y}}$

解题步骤 1.3

通过约去公因数来化简表达式

\frac{y^{2}}{x y}

$\frac{y^{2}}{x y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

从

y^{2}

$y^{2}$ 中分解出因数

y

$y$ 。

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{x y}}$

解题步骤 1.3.2

从

x y

$x y$ 中分解出因数

y

$y$ 。

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

解题步骤 1.3.3

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

解题步骤 1.3.4

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

解题步骤 2

设

$V = \frac{y}{x}$ 。将

$V$ 代入

$\frac{y}{x}$ 。

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}$

解题步骤 3

求解

$y$ 的

$V = \frac{y}{x}$ 。

$y = V x$

解题步骤 4

使用乘积法则求

$y = V x$ 对

$x$ 的导数。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

解题步骤 5

代入

$x \frac{d V}{d x} + V$ 替换

$\frac{d y}{d x}$ 。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

求解

$\frac{d V}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.1

将所有不包含

$\frac{d V}{d x}$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.1.1

从等式两边同时减去

$V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V$

解题步骤 6.1.1.1.2

合并

$V + \sqrt{V} - V$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.1.2.1

从

$V$ 中减去

$V$ 。

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}$

解题步骤 6.1.1.1.2.2

将

$0$ 和

$\sqrt{V}$ 相加。

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

解题步骤 6.1.1.2

将

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ 中的每一项除以

$x$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.2.1

将

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ 中的每一项都除以

$x$ 。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.2.2.1

约去

$x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

解题步骤 6.1.1.2.2.1.2

用

$\frac{d V}{d x}$ 除以

$1$ 。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

解题步骤 6.1.2

两边同时乘以

$\frac{1}{\sqrt{V}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

解题步骤 6.1.3

约去

$\sqrt{V}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

解题步骤 6.1.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 6.1.4

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{V}$ 重写成

$V^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.2

通过将

$V^{\frac{1}{2}}$ 乘以

$- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.3

将

${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.3.2

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$- 1$ 。

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.2.2

根据幂法则，

$V^{- \frac{1}{2}}$ 对

$V$ 的积分是

$2 V^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 对

$x$ 的积分为

$\ln (| x |)$ 。

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 6.2.4

将右边的积分常数分组为

$C$ 。

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

解题步骤 6.3

求解

$V$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

将

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ 中的每一项除以

$2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.1

将

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ 中的每一项都除以

$2$ 。

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 6.3.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 6.3.1.2.2

用

$V^{\frac{1}{2}}$ 除以

$1$ 。

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

解题步骤 6.3.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.3.1.1

将

$\frac{\ln (| x |)}{2}$ 重写为

$\frac{1}{2} \ln (| x |)$ 。

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

解题步骤 6.3.1.3.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简

$\frac{1}{2} \ln (| x |)$ 。

$V^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

解题步骤 6.3.2

将方程两边同时进行

$2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 6.3.3

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.3.1

化简

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.3.1.1

将

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 6.3.3.1.1.2

约去

$2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 6.3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$V^{1} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 6.3.3.1.2

化简。

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

解题步骤 6.4

化简积分常数。

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

解题步骤 7

代入

$\frac{y}{x}$ 替换

$V$ 。

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

解题步骤 8

求解

$y$ 的

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

两边同时乘以

$x$ 。

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

解题步骤 8.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.1

约去

$x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

解题步骤 8.2.1.1.2

重写表达式。

$y = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1

将

${(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$ 中的因式重新排序。

$y = x {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

输入您的问题

微积分学 示例

微积分学示例