微积分学 示例
dydx=yx-(yx)2dydx=yx−(yx)2
解题步骤 1
设 V=yxV=yx。将 VV 代入 yxyx。
dydx=V-V2dydx=V−V2
解题步骤 2
求解 yy 的 V=yxV=yx 。
y=Vxy=Vx
解题步骤 3
使用乘积法则求 y=Vxy=Vx 对 xx 的导数。
dydx=xdVdx+Vdydx=xdVdx+V
解题步骤 4
代入 xdVdx+VxdVdx+V 替换 dydxdydx。
xdVdx+V=V-V2xdVdx+V=V−V2
解题步骤 5
解题步骤 5.1
分离变量。
解题步骤 5.1.1
求解 dVdxdVdx。
解题步骤 5.1.1.1
将所有不包含 dVdxdVdx 的项移到等式右边。
解题步骤 5.1.1.1.1
从等式两边同时减去 VV。
xdVdx=V-V2-VxdVdx=V−V2−V
解题步骤 5.1.1.1.2
合并 V-V2-VV−V2−V 中相反的项。
解题步骤 5.1.1.1.2.1
从 VV 中减去 VV。
xdVdx=-V2+0xdVdx=−V2+0
解题步骤 5.1.1.1.2.2
将 -V2−V2 和 00 相加。
xdVdx=-V2xdVdx=−V2
xdVdx=-V2xdVdx=−V2
xdVdx=-V2xdVdx=−V2
解题步骤 5.1.1.2
将 xdVdx=-V2xdVdx=−V2 中的每一项除以 xx 并化简。
解题步骤 5.1.1.2.1
将 xdVdx=-V2xdVdx=−V2 中的每一项都除以 xx。
xdVdxx=-V2xxdVdxx=−V2x
解题步骤 5.1.1.2.2
化简左边。
解题步骤 5.1.1.2.2.1
约去 xx 的公因数。
解题步骤 5.1.1.2.2.1.1
约去公因数。
xdVdxx=-V2x
解题步骤 5.1.1.2.2.1.2
用 dVdx 除以 1。
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
解题步骤 5.1.1.2.3
化简右边。
解题步骤 5.1.1.2.3.1
将负号移到分数的前面。
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
解题步骤 5.1.2
两边同时乘以 1V2。
1V2dVdx=1V2(-V2x)
解题步骤 5.1.3
化简。
解题步骤 5.1.3.1
使用乘法的交换性质重写。
1V2dVdx=-1V2⋅V2x
解题步骤 5.1.3.2
约去 V2 的公因数。
解题步骤 5.1.3.2.1
将 -1V2 中前置负号移到分子中。
1V2dVdx=-1V2⋅V2x
解题步骤 5.1.3.2.2
约去公因数。
1V2dVdx=-1V2⋅V2x
解题步骤 5.1.3.2.3
重写表达式。
1V2dVdx=-1x
1V2dVdx=-1x
1V2dVdx=-1x
解题步骤 5.1.4
重写该方程。
1V2dV=-1xdx
1V2dV=-1xdx
解题步骤 5.2
对两边积分。
解题步骤 5.2.1
在两边建立积分。
∫1V2dV=∫-1xdx
解题步骤 5.2.2
对左边积分。
解题步骤 5.2.2.1
应用指数的基本规则。
解题步骤 5.2.2.1.1
通过将 V2 乘以 -1 次幂来将其移出分母。
∫(V2)-1dV=∫-1xdx
解题步骤 5.2.2.1.2
将 (V2)-1 中的指数相乘。
解题步骤 5.2.2.1.2.1
运用幂法则并将指数相乘,(am)n=amn。
∫V2⋅-1dV=∫-1xdx
解题步骤 5.2.2.1.2.2
将 2 乘以 -1。
∫V-2dV=∫-1xdx
∫V-2dV=∫-1xdx
∫V-2dV=∫-1xdx
解题步骤 5.2.2.2
根据幂法则,V-2 对 V 的积分是 -V-1。
-V-1+C1=∫-1xdx
解题步骤 5.2.2.3
将 -V-1+C1 重写为 -1V+C1。
-1V+C1=∫-1xdx
-1V+C1=∫-1xdx
解题步骤 5.2.3
对右边积分。
解题步骤 5.2.3.1
由于 -1 对于 x 是常数,所以将 -1 移到积分外。
-1V+C1=-∫1xdx
解题步骤 5.2.3.2
1x 对 x 的积分为 ln(|x|)。
-1V+C1=-(ln(|x|)+C2)
解题步骤 5.2.3.3
化简。
-1V+C1=-ln(|x|)+C2
-1V+C1=-ln(|x|)+C2
解题步骤 5.2.4
将右边的积分常数分组为 C。
-1V=-ln(|x|)+C
-1V=-ln(|x|)+C
解题步骤 5.3
求解 V。
解题步骤 5.3.1
求方程中各项的最小公分母 (LCD)。
解题步骤 5.3.1.1
求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。
V,1,1
解题步骤 5.3.1.2
1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。
V
V
解题步骤 5.3.2
将 -1V=-ln(|x|)+C 中的每一项乘以 V 以消去分数。
解题步骤 5.3.2.1
将 -1V=-ln(|x|)+C 中的每一项乘以 V。
-1VV=-ln(|x|)V+CV
解题步骤 5.3.2.2
化简左边。
解题步骤 5.3.2.2.1
约去 V 的公因数。
解题步骤 5.3.2.2.1.1
将 -1V 中前置负号移到分子中。
-1VV=-ln(|x|)V+CV
解题步骤 5.3.2.2.1.2
约去公因数。
-1VV=-ln(|x|)V+CV
解题步骤 5.3.2.2.1.3
重写表达式。
-1=-ln(|x|)V+CV
-1=-ln(|x|)V+CV
-1=-ln(|x|)V+CV
解题步骤 5.3.2.3
化简右边。
解题步骤 5.3.2.3.1
将 -ln(|x|)V+CV 中的因式重新排序。
-1=-Vln(|x|)+CV
-1=-Vln(|x|)+CV
-1=-Vln(|x|)+CV
解题步骤 5.3.3
求解方程。
解题步骤 5.3.3.1
将方程重写为 -Vln(|x|)+CV=-1。
-Vln(|x|)+CV=-1
解题步骤 5.3.3.2
从 -Vln(|x|)+CV 中分解出因数 V。
解题步骤 5.3.3.2.1
从 -Vln(|x|) 中分解出因数 V。
V(-1ln(|x|))+CV=-1
解题步骤 5.3.3.2.2
从 CV 中分解出因数 V。
V(-1ln(|x|))+VC=-1
解题步骤 5.3.3.2.3
从 V(-1ln(|x|))+VC 中分解出因数 V。
V(-1ln(|x|)+C)=-1
V(-1ln(|x|)+C)=-1
解题步骤 5.3.3.3
将 -1ln(|x|) 重写为 -ln(|x|)。
V(-ln(|x|)+C)=-1
解题步骤 5.3.3.4
将 V(-ln(|x|)+C)=-1 中的每一项除以 -ln(|x|)+C 并化简。
解题步骤 5.3.3.4.1
将 V(-ln(|x|)+C)=-1 中的每一项都除以 -ln(|x|)+C。
V(-ln(|x|)+C)-ln(|x|)+C=-1-ln(|x|)+C
解题步骤 5.3.3.4.2
化简左边。
解题步骤 5.3.3.4.2.1
约去 -ln(|x|)+C 的公因数。
解题步骤 5.3.3.4.2.1.1
约去公因数。
V(-ln(|x|)+C)-ln(|x|)+C=-1-ln(|x|)+C
解题步骤 5.3.3.4.2.1.2
用 V 除以 1。
V=-1-ln(|x|)+C
V=-1-ln(|x|)+C
V=-1-ln(|x|)+C
解题步骤 5.3.3.4.3
化简右边。
解题步骤 5.3.3.4.3.1
将负号移到分数的前面。
V=-1-ln(|x|)+C
解题步骤 5.3.3.4.3.2
从 -ln(|x|) 中分解出因数 -1。
V=-1-(ln(|x|))+C
解题步骤 5.3.3.4.3.3
从 C 中分解出因数 -1。
V=-1-(ln(|x|))-1(-C)
解题步骤 5.3.3.4.3.4
从 -(ln(|x|))-1(-C) 中分解出因数 -1。
V=-1-(ln(|x|)-C)
解题步骤 5.3.3.4.3.5
化简表达式。
解题步骤 5.3.3.4.3.5.1
将 -(ln(|x|)-C) 重写为 -1(ln(|x|)-C)。
V=-1-1(ln(|x|)-C)
解题步骤 5.3.3.4.3.5.2
将负号移到分数的前面。
V=--1ln(|x|)-C
解题步骤 5.3.3.4.3.5.3
将 -1 乘以 -1。
V=11ln(|x|)-C
解题步骤 5.3.3.4.3.5.4
将 1ln(|x|)-C 乘以 1。
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
解题步骤 5.4
化简积分常数。
V=1ln(|x|)+C
V=1ln(|x|)+C
解题步骤 6
代入 yx 替换 V。
yx=1ln(|x|)+C
解题步骤 7
解题步骤 7.1
两边同时乘以 x。
yxx=1ln(|x|)+Cx
解题步骤 7.2
化简。
解题步骤 7.2.1
化简左边。
解题步骤 7.2.1.1
约去 x 的公因数。
解题步骤 7.2.1.1.1
约去公因数。
yxx=1ln(|x|)+Cx
解题步骤 7.2.1.1.2
重写表达式。
y=1ln(|x|)+Cx
y=1ln(|x|)+Cx
y=1ln(|x|)+Cx
解题步骤 7.2.2
化简右边。
解题步骤 7.2.2.1
组合 1ln(|x|)+C 和 x。
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C