微积分学示例

(3 x^{2} y + y^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y + 3) d y = 0

$(3 x^{2} y + y^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y + 3) d y = 0$

解题步骤 1

求

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 在

M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}

$M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ 的值。

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解题步骤 1.1

将

M

$M$ 相对于

y

$y$ 进行微分。

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + y^{2}]$

解题步骤 1.2

根据加法法则，

3 x^{2} y + y^{2}

$3 x^{2} y + y^{2}$ 对

y

$y$ 的导数是

\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3

计算

\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为

3 x^{2}

$3 x^{2}$ 对于

y

$y$ 是常数，所以

3 x^{2} y

$3 x^{2} y$ 对

y

$y$ 的导数是

3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ 。

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3.3

将

3

$3$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y$

\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y$

解题步骤 2

求

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 在

N (x, y) = x^{3} + 2 x y + 3

$N (x, y) = x^{3} + 2 x y + 3$ 的值。

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解题步骤 2.1

将

N

$N$ 相对于

x

$x$ 进行微分。

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x y + 3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x y + 3]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则，

x^{3} + 2 x y + 3

$x^{3} + 2 x y + 3$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 3

$n = 3$ 。

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3

计算

\frac{d}{d x} [2 x y]

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为

2 y

$2 y$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

2 x y

$2 x y$ 对

x

$x$ 的导数是

2 y \frac{d}{d x} [x]

$2 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.3

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]$

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为

3

$3$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

3

$3$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + 0

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + 0$

解题步骤 2.4.2

将

3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y$ 和

0

$0$ 相加。

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

解题步骤 3

判断

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将

3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y$ 代入

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将

3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y$ 代入

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$ 是一个恒等式。

3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使

f (x, y)

$f (x, y)$ 等于

M (x, y)

$M (x, y)$ 的积分。

f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} d x

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} d x$

解题步骤 5

对

M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}

$M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ 积分以求

f (x, y)

$f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

将单个积分拆分为多个积分。

f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} d x

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} d x$

解题步骤 5.2

由于

3 y

$3 y$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

3 y

$3 y$ 移到积分外。

f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} d x

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} d x$

解题步骤 5.3

根据幂法则，

x^{2}

$x^{2}$ 对

x

$x$ 的积分是

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ 。

f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} d x

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} d x$

解题步骤 5.4

应用常数不变法则。

f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} x + C

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} x + C$

解题步骤 5.5

组合

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 和

x^{3}

$x^{3}$ 。

f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C) + y^{2} x + C

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C) + y^{2} x + C$

解题步骤 5.6

化简。

f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C$

f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C$

解题步骤 6

由于

g (y)

$g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用

g (y)

$g (y)$ 替换

C

$C$ 。

f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$

解题步骤 7

设置

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8

求

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 8.1

将

$f$ 相对于

$y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + y^{2} x + g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.2

根据加法法则，

$y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ 对

$y$ 的导数是

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.3

计算

$\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为

$x^{3}$ 对于

$y$ 是常数，所以

$y x^{3}$ 对

$y$ 的导数是

$x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于

$n y^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.3.3

将

$x^{3}$ 乘以

$1$ 。

$x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.4

计算

$\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ 。

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解题步骤 8.4.1

因为

$x$ 对于

$y$ 是常数，所以

$y^{2} x$ 对

$y$ 的导数是

$x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$x^{3} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于

$n y^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$x^{3} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.4.3

将

$2$ 移到

$x$ 的左侧。

$x^{3} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.5

使用函数法则进行微分，即

$g (y)$ 的导数为

$\frac{d g}{d y}$ 。

$x^{3} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.6

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 9

求解

$\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 9.1

将所有不包含

$\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去

$x^{3}$ 。

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3}$

解题步骤 9.1.2

从等式两边同时减去

$2 x y$ 。

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$

解题步骤 9.1.3

合并

$x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.3.1

从

$x^{3}$ 中减去

$x^{3}$ 。

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 + 0 - 2 x y$

解题步骤 9.1.3.2

将

$2 x y + 3$ 和

$0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 - 2 x y$

解题步骤 9.1.3.3

从

$2 x y$ 中减去

$2 x y$ 。

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

解题步骤 9.1.3.4

将

$0$ 和

$3$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 3$

解题步骤 10

求

$3$ 的不定积分，以求出

$g (y)$ 。

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解题步骤 10.1

对

$\frac{d g}{d y} = 3$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

解题步骤 10.2

计算

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int 3 d y$

解题步骤 10.3

应用常数不变法则。

$g (y) = 3 y + C$

解题步骤 11

在

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ 中代入

$g (y)$ 。

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + 3 y + C$

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