微积分学示例

$(3 x^{2} y + y^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y + 3) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y + y^{2}]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $3 x^{2} y + y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $3 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 x^{2} y$ 对 $y$ 的导数是 $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 2 y$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x^{3} + 2 x y + 3$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x y + 3]$

解题步骤 2.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x^{3} + 2 x y + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $2 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $2 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $3 x^{2} + 2 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 2 y$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $3 x^{2} + 2 y$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $3 x^{2} + 2 y$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$3 x^{2} + 2 y = 3 x^{2} + 2 y$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $M (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y + y^{2} d x$

解题步骤 5

对 $M (x, y) = 3 x^{2} y + y^{2}$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将单个积分拆分为多个积分。

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int y^{2} d x$

解题步骤 5.2

由于 $3 y$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3 y$ 移到积分外。

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int y^{2} d x$

解题步骤 5.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{2} d x$

解题步骤 5.4

应用常数不变法则。

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{2} x + C$

解题步骤 5.5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C) + y^{2} x + C$

解题步骤 5.6

化简。

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + C$

解题步骤 6

由于 $g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (y)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + y^{2} x + g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

因为 $x^{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y x^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.3.3

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.4

计算 $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.4.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y^{2} x$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$x^{3} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{3} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.4.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{3} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.5

使用函数法则进行微分，即 $g (y)$ 的导数为 $\frac{d g}{d y}$ 。

$x^{3} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 8.6

重新排序项。

$\frac{d g}{d y} + x^{3} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去 $x^{3}$ 。

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3}$

解题步骤 9.1.2

从等式两边同时减去 $2 x y$ 。

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$

解题步骤 9.1.3

合并 $x^{3} + 2 x y + 3 - x^{3} - 2 x y$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.3.1

从 $x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 + 0 - 2 x y$

解题步骤 9.1.3.2

将 $2 x y + 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 3 - 2 x y$

解题步骤 9.1.3.3

从 $2 x y$ 中减去 $2 x y$ 。

$\frac{d g}{d y} = 0 + 3$

解题步骤 9.1.3.4

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$\frac{d g}{d y} = 3$

解题步骤 10

求 $3$ 的不定积分，以求出 $g (y)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d y} = 3$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 d y$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

$g (y) = \int 3 d y$

解题步骤 10.3

应用常数不变法则。

$g (y) = 3 y + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + g (y)$ 中代入 $g (y)$ 。

$f (x, y) = y x^{3} + y^{2} x + 3 y + C$

输入您的问题

微积分学 示例

微积分学示例