微积分学示例

(2 x + y) d x + (x + 1) d y = 0

$(2 x + y) d x + (x + 1) d y = 0$

解题步骤 1

求

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 在

M (x, y) = 2 x + y

$M (x, y) = 2 x + y$ 的值。

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解题步骤 1.1

将

M

$M$ 相对于

y

$y$ 进行微分。

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y]$

解题步骤 1.2

根据加法法则，

2 x + y

$2 x + y$ 对

y

$y$ 的导数是

\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]

$\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.3

因为

2 x

$2 x$ 对于

y

$y$ 是常数，所以

2 x

$2 x$ 对

y

$y$ 的导数为

0

$0$ 。

\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

解题步骤 1.5

将

0

$0$ 和

1

$1$ 相加。

\frac{\partial M}{\partial y} = 1

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

\frac{\partial M}{\partial y} = 1

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

解题步骤 2

求

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 在

N (x, y) = x + 1

$N (x, y) = x + 1$ 的值。

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解题步骤 2.1

将

N

$N$ 相对于

x

$x$ 进行微分。

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 2.2

根据加法法则，

x + 1

$x + 1$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.4

因为

1

$1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

1

$1$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

解题步骤 2.5

将

1

$1$ 和

0

$0$ 相加。

\frac{\partial N}{\partial x} = 1

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

\frac{\partial N}{\partial x} = 1

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

解题步骤 3

判断

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将

1

$1$ 代入

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将

1

$1$ 代入

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

1 = 1

$1 = 1$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

1 = 1

$1 = 1$ 是一个恒等式。

1 = 1

$1 = 1$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使

f (x, y)

$f (x, y)$ 等于

M (x, y)

$M (x, y)$ 的积分。

f (x, y) = \int 2 x + y d x

$f (x, y) = \int 2 x + y d x$

解题步骤 5

对

M (x, y) = 2 x + y

$M (x, y) = 2 x + y$ 积分以求

f (x, y)

$f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

将单个积分拆分为多个积分。

f (x, y) = \int 2 x d x + \int y d x

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int y d x$

解题步骤 5.2

由于

2

$2$ 对于

x

$x$ 是常数，所以将

2

$2$ 移到积分外。

f (x, y) = 2 \int x d x + \int y d x

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int y d x$

解题步骤 5.3

根据幂法则，

x

$x$ 对

x

$x$ 的积分是

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ 。

f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y d x

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y d x$

解题步骤 5.4

应用常数不变法则。

f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y x + C

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y x + C$

解题步骤 5.5

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

x^{2}

$x^{2}$ 。

f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C$

解题步骤 5.6

化简。

f (x, y) = x^{2} + y x + C

$f (x, y) = x^{2} + y x + C$

f (x, y) = x^{2} + y x + C

$f (x, y) = x^{2} + y x + C$

解题步骤 6

由于

g (y)

$g (y)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用

g (y)

$g (y)$ 替换

C

$C$ 。

f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)

$f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)$

解题步骤 7

设置

\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 。

\frac{\partial f}{\partial y} = x + 1

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 1$

解题步骤 8

求

\frac{\partial f}{\partial y}

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 。

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解题步骤 8.1

将

f

$f$ 相对于

y

$y$ 进行微分。

\frac{d}{d y} [x^{2} + y x + g (y)] = x + 1

$\frac{d}{d y} [x^{2} + y x + g (y)] = x + 1$

解题步骤 8.2

求微分。

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解题步骤 8.2.1

根据加法法则，

x^{2} + y x + g (y)

$x^{2} + y x + g (y)$ 对

y

$y$ 的导数是

\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 。

\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

解题步骤 8.2.2

因为

x^{2}

$x^{2}$ 对于

y

$y$ 是常数，所以

x^{2}

$x^{2}$ 对

y

$y$ 的导数为

0

$0$ 。

0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

解题步骤 8.3

计算

\frac{d}{d y} [y x]

$\frac{d}{d y} [y x]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为

x

$x$ 对于

y

$y$ 是常数，所以

y x

$y x$ 对

y

$y$ 的导数是

x \frac{d}{d y} [y]

$x \frac{d}{d y} [y]$ 。

0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

解题步骤 8.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

解题步骤 8.3.3

将

x

$x$ 乘以

1

$1$ 。

0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即

g (y)

$g (y)$ 的导数为

\frac{d g}{d y}

$\frac{d g}{d y}$ 。

0 + x + \frac{d g}{d y} = x + 1

$0 + x + \frac{d g}{d y} = x + 1$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

将

0

$0$ 和

x

$x$ 相加。

x + \frac{d g}{d y} = x + 1

$x + \frac{d g}{d y} = x + 1$

解题步骤 8.5.2

重新排序项。

\frac{d g}{d y} + x = x + 1

$\frac{d g}{d y} + x = x + 1$

\frac{d g}{d y} + x = x + 1

$\frac{d g}{d y} + x = x + 1$

\frac{d g}{d y} + x = x + 1

$\frac{d g}{d y} + x = x + 1$

解题步骤 9

求解

\frac{d g}{d y}

$\frac{d g}{d y}$ 。

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解题步骤 9.1

将所有不包含

\frac{d g}{d y}

$\frac{d g}{d y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去

x

$x$ 。

\frac{d g}{d y} = x + 1 - x

$\frac{d g}{d y} = x + 1 - x$

解题步骤 9.1.2

合并

x + 1 - x

$x + 1 - x$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.1

从

x

$x$ 中减去

x

$x$ 。

\frac{d g}{d y} = 0 + 1

$\frac{d g}{d y} = 0 + 1$

解题步骤 9.1.2.2

将

0

$0$ 和

1

$1$ 相加。

\frac{d g}{d y} = 1

$\frac{d g}{d y} = 1$

\frac{d g}{d y} = 1

$\frac{d g}{d y} = 1$

\frac{d g}{d y} = 1

$\frac{d g}{d y} = 1$

\frac{d g}{d y} = 1

$\frac{d g}{d y} = 1$

解题步骤 10

求

1

$1$ 的不定积分，以求出

g (y)

$g (y)$ 。

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解题步骤 10.1

对

\frac{d g}{d y} = 1

$\frac{d g}{d y} = 1$ 的两边积分。

\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

解题步骤 10.2

计算

\int \frac{d g}{d y} d y

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 。

g (y) = \int d y

$g (y) = \int d y$

解题步骤 10.3

应用常数不变法则。

g (y) = y + C

$g (y) = y + C$

g (y) = y + C

$g (y) = y + C$

解题步骤 11

在

f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)

$f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)$ 中代入

g (y)

$g (y)$ 。

f (x, y) = x^{2} + y x + y + C

$f (x, y) = x^{2} + y x + y + C$

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