微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$

解题步骤 1

要解微分方程，设 $v = y^{1 - n}$ ，其中 $n$ 是 $y^{2}$ 的指数。

$v = y^{- 1}$

解题步骤 2

求解 $y$ 的方程。

$y = v^{- 1}$

解题步骤 3

取 $y$ 对 $x$ 的导数。

$y' = v^{- 1}$

解题步骤 4

取 $v^{- 1}$ 对 $x$ 的导数。

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解题步骤 4.1

取 $v^{- 1}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

解题步骤 4.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1$ 且 $g (x) = v$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $v$ 乘以 $0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.3.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d x} [v]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{d}{d x} [v]$ 重写为 $v'$ 。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

解题步骤 5

在原方程 $\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$ 中将 $\frac{d y}{d x}$ 替换成 $- \frac{v'}{v^{2}}$ 并且将 $y$ 替换成 $v^{- 1}$ 。

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ 中的每一项乘以 $- v^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 6.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ 中的每一项乘以 $- v^{2}$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.1.1

约去 $v^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1.1.1

将 $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.2.1.1.2

从 $- v^{2}$ 中分解出因数 $v^{2}$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.2.1.3

将 $\frac{d v}{d x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.2.1.5

通过指数相加将 $v^{- 1}$ 乘以 $v^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.5.1

移动 $v^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.2.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.2.1.5.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.2.1.6

化简 $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ 。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d v}{d x} + 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.2.1.8

将 $v$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d v}{d x} + v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

解题步骤 6.1.3.2

将 ${(v^{- 1})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

解题步骤 6.1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 2} v^{2}$

解题步骤 6.1.3.3

通过指数相加将 $v^{- 2}$ 乘以 $v^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.3.3.1

移动 $v^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} (v^{2} v^{- 2})$

解题步骤 6.1.3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{2 - 2}$

解题步骤 6.1.3.3.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{0}$

解题步骤 6.1.3.4

化简 $- e^{x} v^{0}$ 。

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x}$

解题步骤 6.2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = 1$ 。

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解题步骤 6.2.1

建立积分。

$e^{\int d x}$

解题步骤 6.2.2

应用常数不变法则。

$e^{x + C}$

解题步骤 6.2.3

去掉积分常数。

$e^{x}$

解题步骤 6.3

每一项乘以积分因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 6.3.1

每一项乘以 $e^{x}$ 。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- e^{x})$

解题步骤 6.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x} e^{x}$

解题步骤 6.3.3

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

移动 $e^{x}$ 。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - (e^{x} e^{x})$

解题步骤 6.3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x + x}$

解题步骤 6.3.3.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$

解题步骤 6.3.4

将 $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$ 中的因式重新排序。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - e^{2 x}$

解题步骤 6.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - e^{2 x}$

解题步骤 6.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - e^{2 x} d x$

解题步骤 6.6

对左边积分。

$e^{x} v = \int - e^{2 x} d x$

解题步骤 6.7

对右边积分。

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解题步骤 6.7.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{x} v = - \int e^{2 x} d x$

解题步骤 6.7.2

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.7.2.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.7.2.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 6.7.2.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.7.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.7.2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.7.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$e^{x} v = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 6.7.3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{x} v = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 6.7.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$e^{x} v = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 6.7.5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

解题步骤 6.7.6

化简。

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

解题步骤 6.7.7

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

解题步骤 6.8

将 $e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ 中的每一项除以 $e^{x}$ 并化简。

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解题步骤 6.8.1

将 $e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ 中的每一项都除以 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 6.8.2

化简左边。

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解题步骤 6.8.2.1

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 6.8.2.1.2

用 $v$ 除以 $1$ 。

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 6.8.3

化简右边。

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解题步骤 6.8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.8.3.1.1

约去 $e^{2 x}$ 和 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.3.1.1.1

从 $- \frac{1}{2} e^{2 x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 6.8.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.8.3.1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 6.8.3.1.1.2.2

约去公因数。

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 6.8.3.1.1.2.3

重写表达式。

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 6.8.3.1.1.2.4

用 $- \frac{1}{2} e^{x}$ 除以 $1$ 。

$v = - \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 6.8.3.1.2

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$v = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

解题步骤 7

代入 $y^{- 1}$ 替换 $v$ 。

$y^{- 1} = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

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