微积分学示例

\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{4} y^{2}

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{4} y^{2}$

解题步骤 1

要解微分方程，设

v = y^{1 - n}

$v = y^{1 - n}$ ，其中

n

$n$ 是

y^{2}

$y^{2}$ 的指数。

v = y^{- 1}

$v = y^{- 1}$

解题步骤 2

求解

y

$y$ 的方程。

y = v^{- 1}

$y = v^{- 1}$

解题步骤 3

取

y

$y$ 对

x

$x$ 的导数。

$y' = v^{- 1}$

解题步骤 4

取

$v^{- 1}$ 对

$x$ 的导数。

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解题步骤 4.1

取

$v^{- 1}$ 的导数。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

解题步骤 4.2

使用负指数规则

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

解题步骤 4.3

使用除法定则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中

$f (x) = 1$ 且

$g (x) = v$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.4.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.2

因为

$1$ 对于

$x$ 是常数，所以

$1$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.4.3.1

将

$v$ 乘以

$0$ 。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.3.2

从

$0$ 中减去

$\frac{d}{d x} [v]$ 。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.4.3.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

解题步骤 4.5

将

$\frac{d}{d x} [v]$ 重写为

$v'$ 。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

解题步骤 5

在原方程

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{4} y^{2}$ 中将

$\frac{d y}{d x}$ 替换成

$- \frac{v'}{v^{2}}$ 并且将

$y$ 替换成

$v^{- 1}$ 。

$- \frac{v'}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2}$

解题步骤 6

求解代入的微分方程。

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解题步骤 6.1

将微分方程重写为

$\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 。

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解题步骤 6.1.1

将

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2}$ 中的每一项乘以

$- v^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 6.1.1.1

将

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2}$ 中的每一项乘以

$- v^{2}$ 。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.2.1.1

约去

$v^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.2.1.1.1

将

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.2.1.1.2

从

$- v^{2}$ 中分解出因数

$v^{2}$ 。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.2.1.1.3

约去公因数。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.2.1.1.4

重写表达式。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.2.1.2

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.2.1.3

将

$\frac{d v}{d x}$ 乘以

$1$ 。

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} v^{2} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.2.1.5

通过指数相加将

$v^{- 1}$ 乘以

$v^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1.2.1.5.1

移动

$v^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.2.1.5.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.2.1.5.3

从

$2$ 中减去

$1$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.2.1.6

化简

$- \frac{1}{x} v^{1}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.2.1.7

组合

$v$ 和

$\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = x^{4} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

解题步骤 6.1.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.1.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

解题步骤 6.1.1.3.2

将

${(v^{- 1})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1.1.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

解题步骤 6.1.1.3.2.2

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} v^{- 2} v^{2}$

解题步骤 6.1.1.3.3

通过指数相加将

$v^{- 2}$ 乘以

$v^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1.3.3.1

移动

$v^{2}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} (v^{2} v^{- 2})$

解题步骤 6.1.1.3.3.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} v^{2 - 2}$

解题步骤 6.1.1.3.3.3

从

$2$ 中减去

$2$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4} v^{0}$

解题步骤 6.1.1.3.4

化简

$- x^{4} v^{0}$ 。

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x^{4}$

解题步骤 6.1.2

从

$- \frac{v}{x}$ 中分解出因数

$v$ 。

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = - x^{4}$

解题步骤 6.1.3

将

$v$ 和

$- \frac{1}{x}$ 重新排序。

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = - x^{4}$

解题步骤 6.2

积分因数由公式

$e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中

$P (x) = - \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 6.2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 6.2.2

对

$- \frac{1}{x}$ 积分。

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解题步骤 6.2.2.1

由于

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 6.2.2.2

$\frac{1}{x}$ 对

$x$ 的积分为

$\ln (| x |)$ 。

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 6.2.2.3

化简。

$e^{- \ln (| x |) + C}$

解题步骤 6.2.3

去掉积分常数。

$e^{- \ln (x)}$

解题步骤 6.2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 1})}$

解题步骤 6.2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 1}$

解题步骤 6.2.6

使用负指数规则

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 6.3

每一项乘以积分因数

$\frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 6.3.1

每一项乘以

$\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x^{4})$

解题步骤 6.3.2

化简每一项。

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解题步骤 6.3.2.1

组合

$\frac{1}{x}$ 和

$\frac{d v}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x^{4})$

解题步骤 6.3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x^{4})$

解题步骤 6.3.2.3

组合

$\frac{1}{x}$ 和

$v$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

解题步骤 6.3.2.4

乘以

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ 。

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解题步骤 6.3.2.4.1

将

$\frac{v}{x}$ 乘以

$\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

解题步骤 6.3.2.4.2

对

$x$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

解题步骤 6.3.2.4.3

对

$x$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

解题步骤 6.3.2.4.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

解题步骤 6.3.2.4.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- x^{4})$

解题步骤 6.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - \frac{1}{x} x^{4}$

解题步骤 6.3.4

约去

$x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.4.1

将

$- \frac{1}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} x^{4}$

解题步骤 6.3.4.2

从

$x^{4}$ 中分解出因数

$x$ 。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{3})$

解题步骤 6.3.4.3

约去公因数。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{3})$

解题步骤 6.3.4.4

重写表达式。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - x^{3}$

解题步骤 6.4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - x^{3}$

解题步骤 6.5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - x^{3} d x$

解题步骤 6.6

对左边积分。

$\frac{1}{x} v = \int - x^{3} d x$

解题步骤 6.7

对右边积分。

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解题步骤 6.7.1

由于

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{x} v = - \int x^{3} d x$

解题步骤 6.7.2

根据幂法则，

$x^{3}$ 对

$x$ 的积分是

$\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{x} v = - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

解题步骤 6.7.3

将

$- (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ 重写为

$- \frac{1}{4} x^{4} + C$ 。

$\frac{1}{x} v = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

解题步骤 6.8

求解

$v$ 。

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解题步骤 6.8.1

组合

$\frac{1}{x}$ 和

$v$ 。

$\frac{v}{x} = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

解题步骤 6.8.2

组合

$x^{4}$ 和

$\frac{1}{4}$ 。

$\frac{v}{x} = - \frac{x^{4}}{4} + C$

解题步骤 6.8.3

两边同时乘以

$x$ 。

$\frac{v}{x} x = (- \frac{x^{4}}{4} + C) x$

解题步骤 6.8.4

化简。

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解题步骤 6.8.4.1

化简左边。

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解题步骤 6.8.4.1.1

约去

$x$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{v}{x} x = (- \frac{x^{4}}{4} + C) x$

解题步骤 6.8.4.1.1.2

重写表达式。

$v = (- \frac{x^{4}}{4} + C) x$

解题步骤 6.8.4.2

化简右边。

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解题步骤 6.8.4.2.1

化简

$(- \frac{x^{4}}{4} + C) x$ 。

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解题步骤 6.8.4.2.1.1

运用分配律。

$v = - \frac{x^{4}}{4} x + C x$

解题步骤 6.8.4.2.1.2

乘以

$- \frac{x^{4}}{4} x$ 。

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解题步骤 6.8.4.2.1.2.1

组合

$x$ 和

$\frac{x^{4}}{4}$ 。

$v = - \frac{x \cdot x^{4}}{4} + C x$

解题步骤 6.8.4.2.1.2.2

通过指数相加将

$x$ 乘以

$x^{4}$ 。

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解题步骤 6.8.4.2.1.2.2.1

将

$x$ 乘以

$x^{4}$ 。

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解题步骤 6.8.4.2.1.2.2.1.1

对

$x$ 进行

$1$ 次方运算。

$v = - \frac{x^{1} x^{4}}{4} + C x$

解题步骤 6.8.4.2.1.2.2.1.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$v = - \frac{x^{1 + 4}}{4} + C x$

解题步骤 6.8.4.2.1.2.2.2

将

$1$ 和

$4$ 相加。

$v = - \frac{x^{5}}{4} + C x$

解题步骤 7

代入

$y^{- 1}$ 替换

$v$ 。

$y^{- 1} = - \frac{x^{5}}{4} + C x$

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